भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 26 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 3.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 26 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 2.5 s तक 22 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

a = 22 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 20 kg स्लेज को क्षैतिज से 40° ऊपर एक रस्सी से 80 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgF = 80 Nθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 6.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 1.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 26 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 25 m/s से क्षैतिज से 70° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 20 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 25 m/sθ = 70°h_roof = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

300 m त्रिज्या का एक मोड़ 12° पर ढलवाँ है। किस चाल v पर कोई कार बिना किसी घर्षण की ज़रूरत के इसे पार कर सकती है? g = 9.81 m/s² लें।

r = 300 mθ = 12°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.5 m लंबी हल्की डोरी पर एक 0.7 kg गेंद को ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है। निम्नतम बिंदु पर इसकी चाल 10.5 m/s है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। उच्चतम बिंदु पर डोरी में तनाव T_top ज्ञात कीजिए।

m = 0.7 kgr = 1.5 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 2 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 0.5 kg गाड़ी 10.5 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 3 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर गाड़ी की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgh = 10.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

19 m/s से चल रही एक 1500 kg कार खड़ी 1700 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1500 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 15 g गोली 0.5 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 1 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 35° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 15 gM = 1 kgL = 0.5 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

2.9 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 340 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.4 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 19 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण a_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.4 kgk = 340 N/mA = 19 cm

a_max = m/s²

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

4 cm ऊँची एक वस्तु 12 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 60 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की ऊँचाई h_i ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

h_o = 4 cmd_o = 60 cmf = 12 cm

h_i = cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

650 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.1 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 1 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 2 तक की दूरी y₂ ज्ञात करें।

λ = 650 nmd = 0.1 mmL = 1 mm = 2

y₂ = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 386.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/3.5 = 14.86 s

दूरी

d = v·t = 26·14.86 = 386.3 m

उत्तर

d = 386.3 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 52 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 222.9 m

संचालित चरण

v₁ = 22·2.5 = 55 m/s

h₁ = ½·22·2.5² = 68.75 m

ऊपर की ओर मुक्त उड़ान

शीर्ष पर वेग शून्य है।

Δh = v₁²/(2g) = 55²/(2·9.81) = 154.2 m

h_max = 68.75 + 154.2 = 222.9 m

उत्तर

h_max = 222.9 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.254 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

अभिलंब बल

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 80·sin 40° = 144.8 N

क्षैतिज बल

m·a = F·cos θ − μ·N = 61.28 − 36.19

a = 25.09/20 = 1.254 m/s²

उत्तर

a = 1.254 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.042 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 6.377)/8 = 1.042 m/s²

उत्तर

a = 1.042 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 64.75 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 35° = 21.3 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 35° = 14.91 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·14.91/9.81 = 3.04 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 21.3·3.04 = 64.75 m

उत्तर

x = 64.75 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 31.48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 8.551 m/s, v_y = 23.49 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

20 = 23.49·t − 4.905·t²

t = (23.49 + √(23.49² − 2·9.81·20))/9.81 = 3.682 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 8.551·3.682 = 31.48 m

उत्तर

x = 31.48 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 25.01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

बल संतुलन

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

चाल

v = √(r·g·tan θ) = √(300·9.81·tan 12°) = 25.01 m/s

उत्तर

v = 25.01 m/s

(90.04 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T_top = 17.11 N

शीर्ष पर चाल

2r ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है।

v_top² = 10.5² − 4·9.81·1.5 = 51.39 m²/s²

शीर्ष पर बल

तनाव और गुरुत्व दोनों नीचे, केंद्र की ओर हैं।

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·51.39/1.5 − 0.7·9.81 = 17.11 N

उत्तर

T_top = 17.11 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 3.398 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 19.62·0.866 = 16.99 N

F = μN = 0.1·16.99 = 1.699 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 1.699·2 = 3.398 J

उत्तर

W_f = 3.398 J

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 9.396 m/s

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.5 − 6) = 88.29 m²/s²

v = 9.396 m/s

उत्तर

v = 9.396 m/s

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 143836 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·19/3200 = 8.906 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1500·19² = 270750 J

K_after = ½·3200·8.906² = 126914 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 270750 − 126914 = 143836 J

उत्तर

ΔK = 143836 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 90.13 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 35°) = 0.09042 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.09042) = 1.332 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 1.015·1.332/0.015 = 90.13 m/s

उत्तर

v = 90.13 m/s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 2.09 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

उत्तर

L = 2.09 m

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: a_max = 26.92 m/s²

कोणीय आवृत्ति

ω = √(340/2.4) = 11.9 rad/s

अधिकतम त्वरण

a_max = A·ω² = 0.19·11.9² = 26.92 m/s²

उत्तर

a_max = 26.92 m/s²

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: h_i = −1 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/60

d_i = 15 cm

आवर्धन और ऊँचाई

m = −15/60 = −0.25

h_i = −0.25·4 = −1 cm

उत्तर

h_i = −1 cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: y₂ = 13 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

फ्रिंज अंतराल

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1/(0.1 × 10⁻³) = 6.5 mm

फ्रिंज संख्या 2

y₂ = 2·6.5 = 13 mm

उत्तर

y₂ = 13 mm

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