सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
108 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 4.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।
ज़मीन से 5 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 16 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।
एक 35 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 35° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।
समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 75 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 11 kg गुटके को खींचता है; 4 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 45° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 135 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v0 ज्ञात कीजिए।
एक गेंद 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
एक सड़क इंजीनियर चाहता है कि कारें घर्षण पर निर्भर हुए बिना 350 m त्रिज्या का मोड़ 60 km/h पर पार करें। g = 9.81 m/s² लें। ढलान कोण θ ज्ञात कीजिए।
1.2 m लंबी डोरी से बँधी एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर वह न्यूनतम चाल vmin क्या है जिस पर डोरी ठीक तनी रहती है?
एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान के साथ 14 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।
19 m/s से चल रही एक 1200 kg कार खड़ी 700 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?
0.5 kg की एक गेंद 20 m/s से दीवार से टकराती है और 17 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 5 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल Favg ज्ञात कीजिए।
किसी अन्य ग्रह पर एक अंतरिक्ष यात्री पाता है कि 1.5 m लंबे सरल लोलक का छोटे दोलनों के लिए आवर्तकाल 6.05 s है। उस ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g ज्ञात कीजिए।
k = 430 N/m वाले स्प्रिंग पर 4 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 13 cm खींचकर छोड़ा जाता है। दोलन की कुल ऊर्जा E ज्ञात कीजिए।
दोनों सिरों पर बँधी डोरी 1.2 m लंबी है; उस पर तरंगें 100 m/s से चलती हैं। उसके संनादी संख्या 3 की आवृत्ति f3 ज्ञात करें।
450 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.05 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। सीधी दिशा से अदीप्त फ्रिंज संख्या 2 का कोण θ2 ज्ञात करें।
उत्तर: s = 100 m
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
उत्तर: t = 3.549 s
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।
केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।
उत्तर: F = 253.2 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।
उत्तर: T = 20 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।
उत्तर: v0 = 36.39 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
उत्तर: x = 109.1 m
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।
उत्तर: θ = 4.625 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
उत्तर: vmin = 3.431 m/s
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
उत्तर: v = 12.47 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।
उत्तर: v = 4.429 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।
उत्तर: ΔK = 79800 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।
उत्तर: Favg = 3700 N
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
उत्तर: g = 1.618 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: E = 3.634 J
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: f3 = 125 Hz
अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।
उत्तर: θ2 = 1.031 °
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
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