भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.2 s है, जिसके बाद कार 5.5 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ht_r = 1.2 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 1.5 s तक 22 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

a = 22 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 11.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 17 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11.5 m/sd = 17 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 4.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 2.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 10 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 30 m/s से क्षैतिज से 25° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 30 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक सड़क इंजीनियर चाहता है कि कारें घर्षण पर निर्भर हुए बिना 170 m त्रिज्या का मोड़ 120 km/h पर पार करें। g = 9.81 m/s² लें। ढलान कोण θ ज्ञात कीजिए।

r = 170 mv = 120 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.वृत्तीय गतिकठिन

40 m त्रिज्या का एक मोड़ 8° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ऊपर और बाहर फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 40 mθ = 8°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। ढलान के साथ 9 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°μ = 0.4d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 5 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 20 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 3 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 12 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 gM = 3 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 15 g गोली 1.4 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 2.5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 35° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 15 gM = 2.5 kgL = 1.4 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 3 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 220 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 2.6 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। स्प्रिंग का अधिकतम खिंचाव x_max cm में ज्ञात कीजिए।

m = 2.6 kgk = 220 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक प्रेक्षक 400 Hz के स्थिर स्रोत से दूर 20 m/s से चलता है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 400 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

स्थिर पार्किंग सेंसर 40 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 10 m/s से पास आ रही है। सेंसर पर वापस प्राप्त प्रतिध्वनि की आवृत्ति f″ ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।

f = 40 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 45.25 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1.2 = 20 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

कुल

d = 20 + 25.25 = 45.25 m

उत्तर

d = 45.25 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 80.25 m

संचालित चरण

v₁ = 22·1.5 = 33 m/s

h₁ = ½·22·1.5² = 24.75 m

ऊपर की ओर मुक्त उड़ान

शीर्ष पर वेग शून्य है।

Δh = v₁²/(2g) = 33²/(2·9.81) = 55.5 m

h_max = 24.75 + 55.5 = 80.25 m

उत्तर

h_max = 80.25 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.3965

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 11.5²/(2·17) = 3.89 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.89/9.81 = 0.3965

उत्तर

μ = 0.3965

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.873 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 4.415)/7 = 2.873 m/s²

उत्तर

a = 2.873 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 1.169 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 35° = 8.192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 35° = 5.736 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·5.736/9.81 = 1.169 s

उत्तर

t = 1.169 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 44.49 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 30·cos 25° = 27.19 m/s

v_y0 = 30·sin 25° = 12.68 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(12.68² + 2·9.81·55) = 35.21 m/s

टकराने की चाल

v = √(27.19² + 35.21²) = 44.49 m/s

उत्तर

v = 44.49 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

7.वृत्तीय गति

उत्तर: θ = 33.67 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

इकाइयाँ

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

ढलान कोण

tan θ = v²/(r·g) = 33.33²/(170·9.81) = 0.6663

θ = 33.67°

उत्तर

θ = 33.67°

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 13.43 m/s

बल संतुलन

घर्षण ढलान के नीचे की ओर है।

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(40·9.81·0.4363/0.9485) = 13.43 m/s

उत्तर

v_max = 13.43 m/s

(48.36 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.208 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.5 − 0.4·0.866)) = 5.208 m/s

उत्तर

v = 5.208 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 9.552 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.1·3.5) = 91.23 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.65) = 9.552 m/s

उत्तर

v = 9.552 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 231.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3)·1.534/0.02 = 231.7 m/s

उत्तर

v = 231.7 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 373.7 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.4·(1 − cos 35°) = 0.2532 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.2532) = 2.229 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 2.515·2.229/0.015 = 373.7 m/s

उत्तर

v = 373.7 m/s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 3.475 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

उत्तर

T = 3.475 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: x_max = 23.19 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 2.6·9.81/220 = 0.1159 m = A

निम्नतम बिंदु

x_max = 2A = 0.2319 m = 23.19 cm

उत्तर

x_max = 23.19 cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 376.7 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 376.7 Hz

उत्तर

f′ = 376.7 Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f″ = 42402 Hz

कार पर आवृत्ति

f′ = 40000·(343 + 10)/343 = 41166 Hz

प्रतिध्वनि की आवृत्ति

f″ = f′·343/(343 − 10) = 42402 Hz

उत्तर

f″ = 42402 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics