सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 4 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 1400 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 3.6 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।
2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 20° के रैंप पर 8.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?
एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
एक 35 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 17 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।
एक कार 105 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।
0.9 m लंबी डोरी से बँधी 1.5 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 3.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.35 है। ढलान के साथ 20 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
एक 8 kg गुटका 30° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 75 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान पर 7 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।
7 m/s से चल रहा 3 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 3.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′2 ज्ञात कीजिए।
एक चौराहे पर 14 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 800 kg कार 24 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1300 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की दिशा θ, पूर्व से उत्तर की ओर मापकर, ज्ञात कीजिए।
k = 420 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.9 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 16 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 9 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
k = 230 N/m वाले स्प्रिंग पर 3 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 11 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण amax ज्ञात कीजिए।
एक छोटा स्रोत ध्वनि को सभी दिशाओं में समान रूप से भेजता है। उससे 1 m पर स्तर 90 dB है। अवशोषण और परावर्तन को अनदेखा करते हुए 8 m पर स्तर β2 ज्ञात करें।
480 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.5 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 1.5 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 1 तक की दूरी y1 ज्ञात करें।
उत्तर: v = 105.8 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
उत्तर: d = 57.76 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।
उत्तर: a = 4.055 m/s²
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।
उत्तर: d = 7.625 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।
उत्तर: x = 55.17 m
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2vy/g।
उत्तर: v = 31.24 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।
ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।
उत्तर: vmax = 26.85 m/s
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
उत्तर: T = 35.13 N
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।
उत्तर: v = 6.431 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।
उत्तर: v = 7.119 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
उत्तर: v′2 = 6.462 m/s
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।
उत्तर: θ = 70.25 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
उत्तर: v = 1.967 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: amax = 8.433 m/s²
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: β2 = 71.94 dB
तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।
दूरी का हर दोगुना होना स्तर को लगभग 6 dB घटाता है।
उत्तर: y1 = 1.44 mm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
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