इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

50 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.6 s है, जिसके बाद कार 6 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 50 km/ht_r = 0.6 sa = −6 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 15 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 18 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

20 kg का एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 1.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 1 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 30 m/s से क्षैतिज से 55° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 9 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 30 m/sθ = 55°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 0.5 kg गेंद 0.5 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 50° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgL = 0.5 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 2 kg गुटका 35° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 25 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान पर 5 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgF = 25 Nθ = 35°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

8 m/s से चल रहा 3 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 3.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.35 kg की एक गेंद 21 m/s से दीवार से टकराती है और 19 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.35 kgv_in = 21 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 50 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 6 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.64 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 50 mmh = 6 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है और 10 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 280 kPa और वेग 0.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 280 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

550 kPa और 55 °C पर Ar का 10 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 10 gM = 39.95 g/molP = 550 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

He की एक निश्चित मात्रा 150 kPa, 10 L, 25 °C से 450 kPa और 210 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 4 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को 5 °C पर रखता है, और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = 5 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 4 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 25 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -25 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 3.5 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 25 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 3.5 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

प्रकाश फ्लिंट काँच (n = 1.62) में एथेनॉल (n = 1.36) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θ_c ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।

n₁ = 1.62n₂ = 1.36

θ_c = °

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

633 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.2 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 2.5 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 4 तक की दूरी y₄ ज्ञात करें।

λ = 633 nmd = 0.2 mmL = 2.5 mm = 4

y₄ = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 24.41 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 13.89·0.6 = 8.333 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·6) = 16.08 m

कुल

d = 8.333 + 16.08 = 24.41 m

उत्तर

d = 24.41 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 31.51 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 15 + 16.51 = 31.51 m

उत्तर

h_max = 31.51 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 0.5897 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

उत्तर

a = 0.5897 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 6.475 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 1.472)/2.5 = 3.335 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·3.335 + 1.472 = 6.475 N

उत्तर

T = 6.475 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 102.8 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·24.51/9.81 = 4.998 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 20.57·4.998 = 102.8 m

उत्तर

x = 102.8 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 79.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 17.21 m/s, v_y = 24.57 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

9 = 24.57·t − 4.905·t²

t = (24.57 + √(24.57² − 2·9.81·9))/9.81 = 4.612 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 17.21·4.612 = 79.36 m

उत्तर

x = 79.36 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 8.409 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 50°) = 3.504 m²/s²

तल पर बल

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·3.504/0.5 = 8.409 N

उत्तर

T = 8.409 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 8.409 N।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 7.791 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 11.25 N

μ·mg·cos θ = 1.607 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (25 − 12.86)·5 = 60.7 J

v = √(2·60.7/2) = 7.791 m/s

उत्तर

v = 7.791 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 7.385 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (3 − 3.5)/(3 + 3.5)·8 = −0.6154 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3.5)·8 = 7.385 m/s

उत्तर

v′₂ = 7.385 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 700 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.35·(19 + 21) = 14 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 14/0.02 = 700 N

उत्तर

F_avg = 700 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 110.4 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN

उत्तर

F = 110.4 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 2.533 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·1 = 30.9 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.08333/(2.5·1) = 2.533 m

उत्तर

y_cp = 2.533 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 13.63 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.001963·10.85 = 0.01363 m³/s = 13.63 L/s

उत्तर

Q = 13.63 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 177.7 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(200/100)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 3²)/1000 = −4.219 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−4.219) − 98.1 = 177.7 kPa

उत्तर

p₂ = 177.7 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 1.242 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 10/39.95 = 0.2503 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

आयतन

V = nRT/P = 0.2503·8.314·328.1/550 = 1.242 L

उत्तर

V = 1.242 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 5.402 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 298.1 K, T₂ = 483.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/450)·(483.1/298.1) = 5.402 L

उत्तर

V₂ = 5.402 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 4.36 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 4·303.1/278.1 = 4.36 kW

उत्तर

Q̇_H = 4.36 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.3595 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.7052 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(298.1 − 248.1) = 4.963

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3.5/4.963 = 0.7052 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.7052 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_c = 57.09 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

90° पर अपवर्तन

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.62 = 0.8395

क्रांतिक कोण

θc = arcsin(0.8395) = 57.09°

उत्तर

θ_c = 57.09°

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: y₄ = 31.65 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

फ्रिंज अंतराल

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·2.5/(0.2 × 10⁻³) = 7.912 mm

फ्रिंज संख्या 4

y₄ = 4·7.912 = 31.65 mm

उत्तर

y₄ = 31.65 mm

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