इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 31 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 3.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 31 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 40 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 11 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

5.5 kg और 5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमानों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 1.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 3 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 36 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 5 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 32 m/s से क्षैतिज से 40° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान के साथ 9 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°μ = 0.1d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 10 kg गुटका 35° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 110 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। ढलान पर 10 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

15 m/s से चल रही एक 800 kg कार खड़ी 1100 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। मूल गतिज ऊर्जा का कितना प्रतिशत ΔK/K नष्ट होता है?

m₁ = 800 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.6 kg की एक गेंद 15 m/s से दीवार से टकराती है और 6 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 25 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.6 kgv_in = 15 m/sv_out = 6 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 40 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 2 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.61 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 40 mmh = 2 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 90 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 4 m नीचे 20 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: प्रवाह दर Q। g = 9.81 m/s² लें।

p_air = 90 kPa (गेज)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

50 L की टंकी में 0 °C पर CO₂ का 210 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 210 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

N₂ की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 20 L, 10 °C से 300 kPa और 60 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 350 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 4 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -25 °C पर रखता है, और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -25 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 4 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 7 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 55 °C वाले तापन तंत्र को 4.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 30% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 55 °CT_L = 7 °Cη_II = 30%Q̇_H = 4.5 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

प्रकाश ग्लिसरॉल (n = 1.47) में एथेनॉल (n = 1.36) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θ_c ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।

n₁ = 1.47n₂ = 1.36

θ_c = °

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

स्थिर पार्किंग सेंसर 40 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 25 m/s से पास आ रही है। सेंसर पर वापस प्राप्त प्रतिध्वनि की आवृत्ति f″ ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।

f = 40 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 549.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/3.5 = 17.71 s

दूरी

d = v·t = 31·17.71 = 549.1 m

उत्तर

d = 549.1 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 62 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 46.17 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 40 + 6.167 = 46.17 m

उत्तर

h_max = 46.17 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 0.4671 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (5.5 − 5)·9.81/(5.5 + 5) = 0.4671 m/s²

उत्तर

a = 0.4671 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 5.559 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 4.414)/4.5 = 5.559 m/s²

उत्तर

a = 5.559 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 130.1 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 50° = 23.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 50° = 27.58 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·27.58/9.81 = 5.622 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 23.14·5.622 = 130.1 m

उत्तर

x = 130.1 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 33.5 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 32·cos 40° = 24.51 m/s

v_y0 = 32·sin 40° = 20.57 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(20.57² + 2·9.81·5) = 22.83 m/s

टकराने की चाल

v = √(24.51² + 22.83²) = 33.5 m/s

उत्तर

v = 33.5 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 8.544 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.5 − 0.1·0.866)) = 8.544 m/s

उत्तर

v = 8.544 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 9.13 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 56.27 N

μ·mg·cos θ = 12.05 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (110 − 68.32)·10 = 416.8 J

v = √(2·416.8/10) = 9.13 m/s

उत्तर

v = 9.13 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK/K = 57.89 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·15/1900 = 6.316 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·800·15² = 90000 J

K_after = ½·1900·6.316² = 37895 J

नष्ट अंश

ΔK/K = 52105/90000 = 57.89 %

उत्तर

ΔK/K = 57.89 %

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 504 N

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.6·(6 + 15) = 12.6 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 12.6/0.025 = 504 N

उत्तर

F_avg = 504 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 176.6 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

उत्तर

F = 176.6 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 4.667 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.5·9 = 407.2 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 6.75/(4.5·9) = 4.667 m

उत्तर

y_cp = 4.667 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 4.802 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.001257·6.264 = 0.004802 m³/s = 4.802 L/s

उत्तर

Q = 4.802 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 5.051 L/s

सतह से जेट तक बर्नूली

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·4)) = 16.08 m/s

प्रवाह दर

Q = A·v = 0.0003142·16.08 = 0.005051 m³/s = 5.051 L/s

उत्तर

Q = 5.051 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 216.7 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 210/44.01 = 4.772 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

दाब

P = nRT/V = 4.772·8.314·273.1/0.05 = 216.7 kPa

उत्तर

P = 216.7 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 27.45 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 283.1 K, T₂ = 333.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(350/300)·(333.1/283.1) = 27.45 L

उत्तर

V₂ = 27.45 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 4.725 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 4·293.1/248.1 = 4.725 kW

उत्तर

Q̇_H = 4.725 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.7254 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 2.194 kW

परम तापमान

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 280.1) = 6.836

COP = 0.3·6.836 = 2.051

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 4.5/2.051 = 2.194 kW

उत्तर

Ẇ = 2.194 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_c = 67.69 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

90° पर अपवर्तन

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.47 = 0.9252

क्रांतिक कोण

θc = arcsin(0.9252) = 67.69°

उत्तर

θ_c = 67.69°

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f″ = 46289 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

कार पर आवृत्ति

f′ = 40000·(343 + 25)/343 = 42915 Hz

प्रतिध्वनि की आवृत्ति

f″ = f′·343/(343 − 25) = 46289 Hz

उत्तर

f″ = 46289 Hz

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