इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

90 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 8 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 40 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 20 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

11 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी घर्षणरहित ढलान पर नीचे फिसलता है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 11 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

40° पर झुके रैंप पर एक 2.5 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 2.5 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। रैंप घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2.5 kgm₂ = 2.5 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 38 m/s से क्षैतिज से 20° ऊपर 57 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 38 m/sθ = 20°x = 57 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 35 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 17 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1000 kg कार 3° की ढलान पर स्थिर 72 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 200 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 200 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 10 kg गाड़ी 7.5 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 2.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर लगाया गया अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

7 m/s से चल रही एक 1400 kg कार खड़ी 500 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1400 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.4 kg की एक गेंद 20 m/s से दीवार से टकराती है और 7 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 25 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgv_in = 20 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर से बहता है जिसका प्रवेश व्यास 200 mm और कंठ व्यास 150 mm है। प्रवेश पर दाब कंठ की तुलना में 17 kPa अधिक है। हानियों को नगण्य मानते हुए प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए।

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 17 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 250 mm, कंठ 125 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 310 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.95 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 310 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

550 kPa और 25 °C पर O₂ का 170 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 170 gM = 32 g/molP = 550 kPaT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

700 kPa और 90 °C पर N₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 28.01 g/molP = 700 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 750 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 900 kJ ऊष्मा लेता है और 253 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 750 °CQ_H = 900 kJQ_L = 253 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 2 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 35 °C वाले तापन तंत्र को 13.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 40% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 35 °CT_L = 2 °Cη_II = 40%Q̇_H = 13.5 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक छोटा लाउडस्पीकर 0.2 W ध्वनि शक्ति सभी दिशाओं में समान रूप से विकीर्ण करता है। 10 m पर ध्वनि तीव्रता स्तर β ज्ञात करें।

P = 0.2 Wr = 10 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

405 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 600 रेखाएँ प्रति मिलीमीटर वाली झरझरी पर समकोण पर पड़ता है। कोटि-3 उच्चिष्ठ का कोण θ₃ ज्ञात करें।

N = 600 mm⁻¹λ = 405 nmm = 3

θ₃ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 39.06 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39.06 m

उत्तर

s = 39.06 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 60.39 m

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 40 + 20.39 = 60.39 m

उत्तर

h_max = 60.39 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.905 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

उत्तर

a = 4.905 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.752 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

डोरी के साथ बल

m₂·g = 24.53 N

m₁·g·sin θ = 15.76 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

निकाय का त्वरण

a = (24.53 − 15.76 − 0)/5 = 1.752 m/s²

उत्तर

a = 1.752 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 8.248 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 38·cos 20° = 35.71 m/s

t = x/v_x = 57/35.71 = 1.596 s

उस समय ऊँचाई

y = 13·1.596 − ½·9.81·1.596² = 8.248 m

उत्तर

y = 8.248 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.675 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 30° = 14.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 30° = 8.5 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 35 + 8.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.5 + √(72.25 + 686.7))/9.81 = 3.675 s

उत्तर

t = 3.675 s

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 14.27 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 200 = 713.4 N

शक्ति

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 713.4·20 = 14268 W = 14.27 kW

उत्तर

P = 14.27 kW

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: N = 98.1 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.5 − 5) = 49.05 m²/s²

शीर्ष पर बल

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·49.05/2.5 − 98.1 = 98.1 N

उत्तर

N = 98.1 N

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 9026 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·7/1900 = 5.158 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1400·7² = 34300 J

K_after = ½·1900·5.158² = 25274 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 34300 − 25274 = 9026 J

उत्तर

ΔK = 9026 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 10.8 N·s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.4·(7 + 20) = 10.8 N·s

उत्तर

J = 10.8 N·s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 68.67 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN

उत्तर

F = 68.67 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 320.5 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.25·7.5 = 320.5 kN

उत्तर

F = 320.5 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 124.6 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

सांतत्य

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

प्रवेश और कंठ के बीच बर्नूली

पाइप क्षैतिज है, इसलिए केवल दाब और वेग बदलते हैं।

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·17000/(1000·(1 − 0.3164))) = 7.052 m/s

v₁ = 3.967 m/s

प्रवाह दर

Q = A₂·v₂ = 0.01767·7.052 = 0.1246 m³/s = 124.6 L/s

उत्तर

Q = 124.6 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 105.4 L/s

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.31 = 38318 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 125/250 = 0.5

v₂ = √(2·38318/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.041 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.01227·9.041 = 0.1054 m³/s = 105.4 L/s

उत्तर

Q = 105.4 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 23.94 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 170/32 = 5.313 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

आयतन

V = nRT/P = 5.313·8.314·298.1/550 = 23.94 L

उत्तर

V = 23.94 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 6.494 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

घनत्व

ρ = 700·28.01/(8.314·363.1) = 6.494 kg/m³

उत्तर

ρ = 6.494 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 14.47 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1023·253/900 = 287.6 K = 14.47 °C

उत्तर

T_L = 14.47 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 3.614 kW

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 275.1) = 9.338

COP = 0.4·9.338 = 3.735

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 13.5/3.735 = 3.614 kW

उत्तर

Ẇ = 3.614 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: β = 82.02 dB

तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।

तीव्रता

I = P/(4πr²) = 0.0001592 W/m²

स्तर

β = 10·log₁₀(0.0001592/10⁻¹²) = 82.02 dB

उत्तर

β = 82.02 dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₃ = 46.8 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

रेखा अंतराल

d = 1/600 mm = 1.667 × 10⁻⁶ m

झरझरी समीकरण

sin θ = mλ/d = 3·405 × 10⁻⁹/(1.667 × 10⁻⁶) = 0.729

θ = 46.8°

उत्तर

θ₃ = 46.8°

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