इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

72 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 7.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 72 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 2.5 s तक 28 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

a = 28 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 25 kg स्लेज को क्षैतिज से 40° ऊपर एक रस्सी से 110 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgF = 110 Nθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 8.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 8.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 25° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 60 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 25°R = 60 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 20 m/s से क्षैतिज से 15° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। यह क्षैतिज से नीचे किस कोण α पर ज़मीन से टकराती है?

v₀ = 20 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। ढलान के साथ 4 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 25°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.3k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

14 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 18 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 14 kg टुकड़ा 57 m/s से आगे चलता रहता है। 4 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 18 kgu = 14 m/sm₁ = 14 kgv′₁ = 57 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 19 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 800 kg कार 12 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1700 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की दिशा θ, पूर्व से उत्तर की ओर मापकर, ज्ञात कीजिए।

m₁ = 800 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 12 m/s (N)

θ = °

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी 14 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 150 mm से 100 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 220 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p₁ ज्ञात कीजिए।

Q = 14 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 220 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 9 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 280 kPa और वेग 1.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 55 °C पर CO₂ का 30 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 30 gM = 44.01 g/molV = 30 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 250 kPa, 5 L, 30 °C से 750 kPa और 170 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 250 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 3.5 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -5 °C पर रखता है, और 28 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -5 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 3.5 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 30 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -20 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 5 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

पारदर्शी ब्लॉक के भीतर प्रकाश हवा (n = 1.00) के साथ सीमा पर 42° से ऊपर हर आपतन कोण के लिए पूर्णतः परावर्तित होता है। ब्लॉक का अपवर्तनांक n₁ ज्ञात करें।

θ_c = 42°n₂ = 1.00

n₁ =

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

550 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 200 रेखाएँ प्रति मिलीमीटर वाली झरझरी पर समकोण पर पड़ता है। कोटि-3 उच्चिष्ठ का कोण θ₃ ज्ञात करें।

N = 200 mm⁻¹λ = 550 nmm = 3

θ₃ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 26.67 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7.5) = 26.67 m

उत्तर

s = 26.67 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 337.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

संचालित चरण

v₁ = 28·2.5 = 70 m/s

h₁ = ½·28·2.5² = 87.5 m

ऊपर की ओर मुक्त उड़ान

शीर्ष पर वेग शून्य है।

Δh = v₁²/(2g) = 70²/(2·9.81) = 249.7 m

h_max = 87.5 + 249.7 = 337.2 m

उत्तर

h_max = 337.2 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.625 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

अभिलंब बल

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 110·sin 40° = 174.5 N

क्षैतिज बल

m·a = F·cos θ − μ·N = 84.26 − 43.64

a = 40.63/25 = 1.625 m/s²

उत्तर

a = 1.625 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.398 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 16.68)/13.5 = 2.398 m/s²

उत्तर

a = 2.398 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 27.72 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·60/sin 50°) = 27.72 m/s

उत्तर

v₀ = 27.72 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: α = 59.85 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 20·cos 15° = 19.32 m/s

v_y0 = 20·sin 15° = 5.176 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(5.176² + 2·9.81·55) = 33.25 m/s

टकराने का कोण

tan α = v_y/v_x = 33.25/19.32 → α = 59.85°

उत्तर

α = 59.85°

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 3.439 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.4226 − 0.3·0.9063)) = 3.439 m/s

उत्तर

v = 3.439 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 22.59 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.3·2) = 38.26 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 38.26 → x = √(2·38.26/1500) = 0.2259 m = 22.59 cm

उत्तर

x = 22.59 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = −136.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 18·14 = 252 kg·m/s

बाद का संवेग

252 = 14·57 + 4·v′₂

v′₂ = (252 − 798)/4 = −136.5 m/s

उत्तर

v′₂ = −136.5 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि दूसरा टुकड़ा पीछे की ओर उड़ता है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: θ = 53.31 °

संवेग घटक

p_x = 800·19 = 15200 kg·m/s

p_y = 1700·12 = 20400 kg·m/s

दिशा

tan θ = p_y/p_x = 1.342 → θ = 53.31°

उत्तर

θ = 53.31°

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 206 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

उत्तर

F = 206 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 2.8 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 4.5/(2.5·6) = 2.8 m

उत्तर

y_cp = 2.8 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₁ = 221.3 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

वेग

v₁ = Q/A₁ = 0.014/0.01767 = 0.7922 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.014/0.007854 = 1.783 m/s

बर्नूली

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 220 + ½·1000·(1.783² − 0.7922²)/1000 = 220 + 1.275 = 221.3 kPa

उत्तर

p₁ = 221.3 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 174.3 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/40)² = 6.152 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 6.152²)/1000 = −17.39 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−17.39) − 88.29 = 174.3 kPa

उत्तर

p₂ = 174.3 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 61.99 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 30/44.01 = 0.6817 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

दाब

P = nRT/V = 0.6817·8.314·328.1/0.03 = 61.99 kPa

उत्तर

P = 61.99 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 2.436 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 303.1 K, T₂ = 443.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(250/750)·(443.1/303.1) = 2.436 L

उत्तर

V₂ = 2.436 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 3.931 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 3.5·301.1/268.1 = 3.931 kW

उत्तर

Q̇_H = 3.931 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.4307 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.9876 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(303.1 − 253.1) = 5.063

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/5.063 = 0.9876 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.9876 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: n₁ = 1.494

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

ब्लॉक का अपवर्तनांक

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.6691 = 1.494

उत्तर

n₁ = 1.494

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₃ = 19.27 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

रेखा अंतराल

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

झरझरी समीकरण

sin θ = mλ/d = 3·550 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.33

θ = 19.27°

उत्तर

θ₃ = 19.27°

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