इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

50 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.4 s है, जिसके बाद कार 4 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 50 km/ht_r = 1.4 sa = −4 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 15 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 17 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

10 kg और 5.5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 10 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 8.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 6 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 38 m/s से क्षैतिज से 40° ऊपर 101 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 38 m/sθ = 40°x = 101 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 15 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 22 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

2.5 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 14 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.4d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

0.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

10 m/s से चल रहा 3.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 10 g गोली 1.8 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 2 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 25° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 2 kgL = 1.8 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 140 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 200 mm, कंठ 150 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 120 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.96 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 120 mmC_d = 0.96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

10 L की टंकी में 100 °C पर He का 40 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 40 gM = 4.003 g/molV = 10 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

800 kPa और 90 °C पर O₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 32 g/molP = 800 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 550 °C पर गर्म भंडार और 40 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। अधिकतम संभव तापीय दक्षता η_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 550 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 25 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -18 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 2 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 25 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 2 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर बँधी डोरी का मूल (प्रथम संनादी) 133 Hz पर होना चाहिए; उस पर तरंगें 200 m/s से चलती हैं। उसकी लंबाई L ज्ञात करें।

v = 200 m/sn = 1f₁ = 133 Hz

L = m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

प्रति मिलीमीटर 600 रेखाओं वाली झरझरी किसी वर्णक्रम रेखा का कोटि-2 उच्चिष्ठ सीधी दिशा से 41.3° पर दिखाती है। रेखा की तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।

N = 600 mm⁻¹θ₂ = 41.3°m = 2

λ = nm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 43.56 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.4 = 19.44 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4) = 24.11 m

कुल

d = 19.44 + 24.11 = 43.56 m

उत्तर

d = 43.56 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.195 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−15 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 15 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (17 + √(17² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.195 s

उत्तर

t = 4.195 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 69.62 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (10 − 5.5)·9.81/(10 + 5.5) = 2.848 m/s²

हल्के द्रव्यमान से तनाव

T − m₂·g = m₂·a → T = 5.5·(9.81 + 2.848) = 69.62 N

उत्तर

T = 69.62 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 37.95 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 8.339)/14.5 = 3.484 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·3.484 + 8.339 = 37.95 N

उत्तर

T = 37.95 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 25.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 38·cos 40° = 29.11 m/s

t = x/v_x = 101/29.11 = 3.47 s

उस समय ऊँचाई

y = 24.43·3.47 − ½·9.81·3.47² = 25.7 m

उत्तर

y = 25.7 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 50.11 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 60° = 11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 60° = 19.05 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 15 + 19.05·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.05 + √(363 + 294.3))/9.81 = 4.556 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 11·4.556 = 50.11 m

उत्तर

x = 50.11 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 118.9 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 24.53·0.866 = 21.24 N

F = μN = 0.4·21.24 = 8.496 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 8.496·14 = 118.9 J

उत्तर

W_f = 118.9 J

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 7.233 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 4.905·(1 − 0.1·2) = 3.924 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 3.924 → x = √(2·3.924/1500) = 0.07233 m = 7.233 cm

उत्तर

x = 7.233 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 14 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (3.5 − 1.5)/(3.5 + 1.5)·10 = 4 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1.5)·10 = 14 m/s

उत्तर

v′₂ = 14 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 365.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 25°) = 0.1686 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.1686) = 1.819 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 2.01·1.819/0.01 = 365.6 m/s

उत्तर

v = 365.6 m/s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 239.1 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

उत्तर

F = 239.1 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 155.4 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3·6 = 155.4 kN

उत्तर

F = 155.4 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 138.6 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/40)² = 1.758 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.758²)/1000 = −1.42 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−1.42) = 138.6 kPa

उत्तर

p₂ = 138.6 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 111.8 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.12 = 14833 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 150/200 = 0.75

v₂ = √(2·14833/(1000·(1 − 0.3164))) = 6.588 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.96·0.01767·6.588 = 0.1118 m³/s = 111.8 L/s

उत्तर

Q = 111.8 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 3100 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 40/4.003 = 9.993 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

दाब

P = nRT/V = 9.993·8.314·373.1/0.01 = 3100 kPa

उत्तर

P = 3100 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 8.479 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

घनत्व

ρ = 800·32/(8.314·363.1) = 8.479 kg/m³

उत्तर

ρ = 8.479 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_max = 61.96 %

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/823.1 = 61.96 %

उत्तर

η_max = 61.96 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.3371 kW

परम तापमान

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(298.1 − 255.1) = 5.934

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2/5.934 = 0.3371 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.3371 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: L = 0.7519 m

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = v/f = 200/133 = 1.504 m

लंबाई

L = nλ/2 = 1·1.504/2 = 0.7519 m

उत्तर

L = 0.7519 m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: λ = 550 nm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 41.3°/2 = 550 nm

उत्तर

λ = 550 nm

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