इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 33 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 4.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v_car = 33 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 1 s तक 30 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण के कितनी देर बाद यह ज़मीन से टकराता है? t ज्ञात कीजिए।

a = 30 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

11 kg का एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 11 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 115 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 10 kg गुटके को खींचता है; 12 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। गुटकों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 12 kgm₂ = 10 kgF = 115 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 50° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 90 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 50°R = 90 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 20 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 20° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 0.2 kg गेंद 1.5 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 90° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgL = 1.5 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

4 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 800 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgh = 3.5 mL = 2 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

6 m/s से चल रहा 3.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1600 kg कार एक खड़ी 1900 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 8 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.75 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1600 kgm₂ = 1900 kgd = 8 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी 11 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 100 mm से 75 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 100 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p₁ ज्ञात कीजिए।

Q = 11 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 10 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 280 kPa और वेग 2 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 80 °C पर Ar का 300 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 300 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

650 kPa और 10 °C पर CO₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 850 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 47% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 850 °CT_L = 30 °Cη = 47%

η_II = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 900 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 15 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजन समान कार्य उत्पन्न करते हैं। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 900 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक वस्तु 12 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 15 cm पर रखी है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें। चिह्न परिपाटी 1/f = 1/d_o + 1/d_i का उपयोग करें (अपसारी लेंस के लिए f < 0, आभासी प्रतिबिंब के लिए d_i < 0)।

d_o = 15 cmf = 12 cm

d_i = cm

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

480 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.15 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 1.5 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 5 तक की दूरी y₅ ज्ञात करें।

λ = 480 nmd = 0.15 mmL = 1.5 mm = 5

y₅ = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 14.67 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/4.5 = 14.67 s

उत्तर

t = 14.67 s

उस क्षण पुलिस कार 2v = 66 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 7.581 s

संचालित चरण

v₁ = 30·1 = 30 m/s

h₁ = ½·30·1² = 15 m

ज़मीन तक मुक्त उड़ान

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

t₂ = (30 + √(30² + 2·9.81·15))/9.81 = 6.581 s

t = 1 + 6.581 = 7.581 s

उत्तर

t = 7.581 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.803 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

उत्तर

a = 4.803 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 3.265 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 43.16)/22 = 3.265 m/s²

उत्तर

a = 3.265 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 29.94 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·90/sin 100°) = 29.94 m/s

उत्तर

v₀ = 29.94 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 25.21 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 20° = 10.34 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 20° = 3.762 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 20 + 3.762·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.762 + √(14.15 + 392.4))/9.81 = 2.439 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 10.34·2.439 = 25.21 m

उत्तर

x = 25.21 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 5.886 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 90°) = 29.43 m²/s²

तल पर बल

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·29.43/1.5 = 5.886 N

उत्तर

T = 5.886 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 5.886 N।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 55.15 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 39.24·(3.5 − 0.2·2) = 121.6 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 121.6 → x = √(2·121.6/800) = 0.5515 m = 55.15 cm

उत्तर

x = 55.15 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 7.636 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (3.5 − 2)/(3.5 + 2)·6 = 1.636 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2)·6 = 7.636 m/s

उत्तर

v′₂ = 7.636 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 23.73 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·8) = 10.85 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·10.85/1600 = 23.73 m/s

उत्तर

v₁ = 23.73 m/s

(85.44 km/h)

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 147.2 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

उत्तर

F = 147.2 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 176.1 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.75·3 = 176.1 kN

उत्तर

F = 176.1 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₁ = 102.1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

वेग

v₁ = Q/A₁ = 0.011/0.007854 = 1.401 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.011/0.004418 = 2.49 m/s

बर्नूली

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(2.49² − 1.401²)/1000 = 100 + 2.119 = 102.1 kPa

उत्तर

p₁ = 102.1 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 105.8 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/40)² = 12.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 12.5²)/1000 = −76.13 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−76.13) − 98.1 = 105.8 kPa

उत्तर

p₂ = 105.8 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 734.9 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 300/39.95 = 7.509 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

दाब

P = nRT/V = 7.509·8.314·353.1/0.03 = 734.9 kPa

उत्तर

P = 734.9 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 12.15 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

घनत्व

ρ = 650·44.01/(8.314·283.1) = 12.15 kg/m³

उत्तर

ρ = 12.15 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 64.38 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 303.1/1123 = 73.01 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 47/73.01 = 64.38 %

उत्तर

η_II = 64.38 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 457.5 °C

परम तापमान

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

समान कार्य

W = Q·(1 − T_low/T_high) और Q/T हर भंडार पर समान है, इसलिए W तापमान गिरावट के समानुपाती है।

T_m = (1173 + 288.1)/2 = 730.7 K = 457.5 °C

उत्तर

T_m = 457.5 °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = 60 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/15

d_i = 60 cm

किरण आरेख

वास्तविक, लेंस के दूसरी ओर

उत्तर

d_i = 60 cm

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: y₅ = 24 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

फ्रिंज अंतराल

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 4.8 mm

फ्रिंज संख्या 5

y₅ = 5·4.8 = 24 mm

उत्तर

y₅ = 24 mm

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