इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 3 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 1400 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 10 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 11 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 10 mv_0B = 11 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 15 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 20° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 15 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 3 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 1 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 29 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 29 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1 kg गेंद 2 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 45° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgL = 2 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 3 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.15) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 5 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 0.5 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0.15d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 15 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 1.5 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 16 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 15 gM = 1.5 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 16 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 900 kg कार 15 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 2000 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की दिशा θ, पूर्व से उत्तर की ओर मापकर, ज्ञात कीजिए।

m₁ = 900 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 15 m/s (N)

θ = °

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 150 mm से 75 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 330 kPa और वेग 2 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 330 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है और 3 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 220 kPa और वेग 2 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

500 kPa और 90 °C पर O₂ का 300 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 300 gM = 32 g/molP = 500 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

850 kPa और 20 °C पर N₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 28.01 g/molP = 850 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 600 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 27% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 600 °CT_L = 20 °Cη = 27%

η_II = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 300 °C वाले भंडार से 3900 kJ ऊष्मा लेता है, 1092 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 35 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 300 °CT_L = 35 °CQ_H = 3900 kJW = 1092 kJ

S_gen = kJ/K

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक प्रेक्षक 1200 Hz के स्थिर स्रोत से दूर 10 m/s से चलता है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

स्थिर पार्किंग सेंसर 35 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 20 m/s से दूर जा रही है। सेंसर पर वापस प्राप्त प्रतिध्वनि की आवृत्ति f″ ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।

f = 35 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 91.65 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·3·1400) = 91.65 m/s

उत्तर

v = 91.65 m/s

(329.9 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 5.946 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

10 − ½g·t² = 11·t − ½g·t² → t = 10/11 = 0.9091 s

मिलने की ऊँचाई

y = 11·0.9091 − ½·9.81·0.9091² = 5.946 m

उत्तर

y = 5.946 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 91.81 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 50.33 + 41.48 = 91.81 N

उत्तर

F = 91.81 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 0.6131 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 7.357)/4 = 0.6131 m/s²

उत्तर

a = 0.6131 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 1.551 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7.607 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·7.607/9.81 = 1.551 s

उत्तर

t = 1.551 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 40.32 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 29·cos 45° = 20.51 m/s

v_y0 = 29·sin 45° = 20.51 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(20.51² + 2·9.81·40) = 34.72 m/s

टकराने की चाल

v = √(20.51² + 34.72²) = 40.32 m/s

उत्तर

v = 40.32 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 15.56 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 45°) = 11.49 m²/s²

तल पर बल

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·11.49/2 = 15.56 N

उत्तर

T = 15.56 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 15.56 N।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 2.362 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 49.05·0.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.15·29.43·0.5 = 2.207 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 22.32 → v = √(2·22.32/8) = 2.362 m/s

उत्तर

v = 2.362 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 178.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 1.5)·1.772/0.015 = 178.9 m/s

उत्तर

v = 178.9 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: θ = 64.36 °

संवेग घटक

p_x = 900·16 = 14400 kg·m/s

p_y = 2000·15 = 30000 kg·m/s

दिशा

tan θ = p_y/p_x = 2.083 → θ = 64.36°

उत्तर

θ = 64.36°

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 121.4 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·4.5 = 121.4 kN

उत्तर

F = 121.4 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 2.8 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·4.5 = 97.12 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 3.375/(2.5·4.5) = 2.8 m

उत्तर

y_cp = 2.8 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 300 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/75)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 330 + (−30) = 300 kPa

उत्तर

p₂ = 300 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 182.4 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−8.125) − 29.43 = 182.4 kPa

उत्तर

p₂ = 182.4 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 56.61 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 300/32 = 9.375 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

आयतन

V = nRT/P = 9.375·8.314·363.1/500 = 56.61 L

उत्तर

V = 56.61 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 9.769 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

घनत्व

ρ = 850·28.01/(8.314·293.1) = 9.769 kg/m³

उत्तर

ρ = 9.769 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 40.65 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 293.1/873.1 = 66.43 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 27/66.43 = 40.65 %

उत्तर

η_II = 40.65 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 2.308 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 3900 − 1092 = 2808 kJ

परम तापमान

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −3900/573.1 = −6.805 kJ/K

ΔS_L = 2808/308.1 = 9.112 kJ/K

S_gen = 9.112 − 6.805 = 2.308 kJ/K

उत्तर

S_gen = 2.308 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 1165 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 1165 Hz

उत्तर

f′ = 1165 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f″ = 31143 Hz

कार पर आवृत्ति

f′ = 35000·(343 − 20)/343 = 32959 Hz

प्रतिध्वनि की आवृत्ति

f″ = f′·343/(343 + 20) = 31143 Hz

उत्तर

f″ = 31143 Hz

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