इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 2.25 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 1500 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 2.25 m/s²s = 1500 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 10 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 7 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

6 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 6 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 20° के रैंप पर 6.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 6.5 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 30 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 14 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। ढलान के साथ 16 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 45°μ = 0.25d = 16 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.1) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 5 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 3 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

17 m/s से चल रही एक 1200 kg कार खड़ी 1200 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1200 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 10 g गोली 0.8 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 1 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 20° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 1 kgL = 0.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 100 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 220 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 140 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 2 m नीचे 25 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: जेट वेग v। g = 9.81 m/s² लें।

p_air = 140 kPa (गेज)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

50 L की टंकी में 70 °C पर Ar का 220 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 220 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

1000 kPa और 160 °C पर Ar का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 39.95 g/molP = 1000 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 300 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 4400 kJ ऊष्मा लेता है और 2366 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 300 °CQ_H = 4400 kJQ_L = 2366 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 10 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 55 °C वाले तापन तंत्र को 15 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 45% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 55 °CT_L = 10 °Cη_II = 45%Q̇_H = 15 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक वस्तु 15 cm फोकस दूरी वाले पतले अपसारी लेंस के सामने 12 cm पर रखी है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें। चिह्न परिपाटी 1/f = 1/d_o + 1/d_i का उपयोग करें (अपसारी लेंस के लिए f < 0, आभासी प्रतिबिंब के लिए d_i < 0)।

d_o = 12 cmf = −15 cm

d_i = cm

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

600 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.05 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। सीधी दिशा से अदीप्त फ्रिंज संख्या 1 का कोण θ₁ ज्ञात करें।

λ = 600 nma = 0.05 mmm = 1

θ₁ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 82.16 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·2.25·1500) = 82.16 m/s

उत्तर

v = 82.16 m/s

(295.8 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 2.31 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−10 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 10 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (7 + √(7² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.31 s

उत्तर

t = 2.31 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.856 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

उत्तर

a = 4.856 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 4.939 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·4.277) = 4.939 m

उत्तर

d = 4.939 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 22.94 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 45° = 21.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 45° = 21.21 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 21.21²/(2·9.81) = 22.94 m

उत्तर

H = 22.94 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.354 s

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8.999 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 25 + 8.999·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.999 + √(80.98 + 490.5))/9.81 = 3.354 s

उत्तर

t = 3.354 s

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 12.9 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·16·(0.7071 − 0.25·0.7071)) = 12.9 m/s

उत्तर

v = 12.9 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.147 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 49.05·3 = 147.2 J

μ·m₁g·d = 0.1·49.05·3 = 14.72 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 132.4 → v = √(2·132.4/10) = 5.147 m/s

उत्तर

v = 5.147 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 86700 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·17/2400 = 8.5 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1200·17² = 173400 J

K_after = ½·2400·8.5² = 86700 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 173400 − 86700 = 86700 J

उत्तर

ΔK = 86700 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 98.27 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 20°) = 0.04825 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.04825) = 0.9729 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 1.01·0.9729/0.01 = 98.27 m/s

उत्तर

v = 98.27 m/s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 117.7 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

उत्तर

F = 117.7 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 2.375 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 2.25/(2·3) = 2.375 m

उत्तर

y_cp = 2.375 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 218.1 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/50)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−1.875) = 218.1 kPa

उत्तर

p₂ = 218.1 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 17.87 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

सतह से जेट तक बर्नूली

v = √(2·(140000/1000 + 9.81·2)) = 17.87 m/s

उत्तर

v = 17.87 m/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 314.2 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 220/39.95 = 5.507 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

दाब

P = nRT/V = 5.507·8.314·343.1/0.05 = 314.2 kPa

उत्तर

P = 314.2 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 11.09 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273.15 = 433.1 K

घनत्व

ρ = 1000·39.95/(8.314·433.1) = 11.09 kg/m³

उत्तर

ρ = 11.09 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 35.05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 573.1·2366/4400 = 308.2 K = 35.05 °C

उत्तर

T_L = 35.05 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 4.571 kW

परम तापमान

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 283.1) = 7.292

COP = 0.45·7.292 = 3.281

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 15/3.281 = 4.571 kW

उत्तर

Ẇ = 4.571 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = −6.667 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/12

d_i = −6.667 cm

किरण आरेख

आभासी, वस्तु की ही ओर

उत्तर

d_i = −6.667 cm

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₁ = 0.6876 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

अदीप्त फ्रिंज की शर्त

sin θ = mλ/a = 0.012

θ = 0.6876°

उत्तर

θ₁ = 0.6876°

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