स्थैतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

फ़्रेम और मशीनें

हर अवयव का संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव: इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल: जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण: F = √(F_x² + F_y²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक: F_in·a = F_out·b
टॉगल: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में

विधि

पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2अभ्यास प्रश्न

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

b = (−5, 3, 2) पर a = (5, 5, 2) का अदिश प्रक्षेप comp_b a, अर्थात b की दिशा में a का घटक, ज्ञात कीजिए।

a = (5, 5, 2)b = (−5, 3, 2)

comp_b a =

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

a = (2, 0, 2) और b = (−4, 5, −1) के लिए सदिश गुणनफल a × b का y-घटक (a × b)_y ज्ञात कीजिए।

a = (2, 0, 2)b = (−4, 5, −1)

(a × b)_y =

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

बीम में A पर पिन और A से 3 m पर B पर रोलर है, और यह B से आगे मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 70 kN पर 2 mP₂ = 35 kN पर 4 m

R_A = kN

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

बीम में A पर पिन और A से 3.5 m पर B पर रोलर है, और यह B से आगे मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह A से 3 m पर बिंदु भार P और 2 m से 5 m पर मुक्त सिरे तक समान वितरित भार w वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

AB = 3.5 mAC = 5 mP = 35 kN पर 3 mw = 4 kN/m, 2 से 5 m तक

R_A = kN

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

जोड़ विधि से अवयव AB में बल F_AB ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 4 mऊँचाई = 2 mB, A से 3 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 25 kN

F_AB = kN

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।

B: 35 kN ↓D: 35 kN ↓H: 25 kN ←

1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC

7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम

एक क्षैतिज कड़ी AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और स्ट्रट CD से टिकी है, जो दीवार में A से 0.75 m नीचे C पर पिन से जुड़ा है। B पर 12 kN का भार लटका है। भारों की उपेक्षा करें। A पर कड़ी पर पिन बल A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

P = 12 kNAD = 1.5 mAB = 2 mAC = 0.75 m

A = kN

8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन

2 kN भार की एक एकसमान क्षैतिज बूम AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और अपने सिरे B से दीवार पर बिंदु C तक एक केबल से थमी है, जो A से 2 m ऊपर है। B पर 15 kN का भार लटका है। केबल में तनाव T ज्ञात कीजिए।

W = 15 kNW_b = 2 kNAB = 3 mAC = 2 m

T = kN

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

50 kN @ 4 m45 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच A से प्रतिनमन बिंदु (जहाँ बंकन आघूर्ण का चिह्न बदलता है) तक की दूरी x_c ज्ञात कीजिए।

L = 5.5 mw = 8 kN/m, 0 से 5.5 m तकआलंब x = 0 और x = 4 m पर

x_c = m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 15 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_नीचे = MPa

3विलयन

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: comp_b a = −0.9733

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

अदिश गुणनफल

a·b = 5·(−5) + 5·3 + 2·2 = −6

b की लंबाई

|b| = √((−5)² + 3² + 2²) = 6.164

अदिश प्रक्षेप

comp_b a = a·b/|b| = −6/6.164 = −0.9733

उत्तर

comp_b a = −0.9733

ऋणात्मक: a का एक घटक b के विरुद्ध इंगित करता है।

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: (a × b)_y = −6

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

सदिश गुणनफल, घटक-दर-घटक

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−1) − 2·5 = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−4) − 2·(−1) = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·5 − 0·(−4) = 10

पूछा गया घटक

(a × b)_y = −6

उत्तर

(a × b)_y = −6

जाँच: a × b दोनों सदिशों के लंबवत है, इसलिए a और b के साथ इसका अदिश गुणनफल शून्य है।

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 11.67 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

A के परितः आघूर्ण

वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: R_B·3 = 70·2 + 35·4

R_B = 280/3 = 93.33 kN

ऊर्ध्वाधर संतुलन

R_A = 70 + 35 − 93.33 = 11.67 kN

उत्तर

R_A = 11.67 kN

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 5 kN

वितरित भार का परिणामी

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3.5 m

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·3.5 = 35·3 + 12·3.5

R_B = 147/3.5 = 42 kN

R_A = 47 − 42 = 5 kN

उत्तर

R_A = 5 kN

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AB = −11.27 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18.75 = 6.25 kN

जोड़ A

मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6.25/0.5547 = −11.27 kN

उत्तर

F_AB = −11.27 kN (संपीडन)

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: सदस्य CG

शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।

संधि G

FG और GH एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

संधि विधि से जाँचें

सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।

AB: 7.5 kN (T), BC: 7.5 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 38.75 kN (C), GH: 38.75 kN (C), AF: 54.17 kN (C), HE: 33.33 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 10.42 kN (T), HC: 10.42 kN (C)

उत्तर

शून्य-बल सदस्य: CG

7.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: A = 32.25 kN

फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।

स्ट्रट बल

F_CD = 12·2/(0.4472·1.5) = 35.78 kN

A पर घटक

A_x = F_CD·cos α = 32 kN (दीवार की ओर)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −4 kN

परिमाण

A = √(32² + −4²) = 32.25 kN

उत्तर

A = 32.25 kN

ऋणात्मक A_y का अर्थ है कि दीवार A पर कड़ी को नीचे खींचती है।

8.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: T = 28.84 kN

केबल का कोण

BC = √(3² + 2²) = 3.606 m, sin β = 0.5547

A के परितः आघूर्ण

T·0.5547·3 = 15·3 + 2·1.5

T = 28.84 kN

उत्तर

T = 28.84 kN

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 24.17 kN, R₂ = 70.83 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 24.17, M_C = 48.33, M_D = 72.5, M_E = 96.67 kN·m, M_F = 70.83, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = 96.67 kN·m

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: x_c = 3.438 m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·5.5 = 44 kN, x̄ = 2.75 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·5.5·2.75

R_B = 121/4 = 30.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 30.25 = 13.75 kN

शून्य आघूर्ण

आलंबों के बीच M(x) = R_A·x − w·x²/2। x = 0 के अलावा यह x = 2R_A/w पर शून्य है।

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·13.75/8 = 3.438 m

उत्तर

x_c = 3.438 m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 14.43 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

वेब: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·165 + 2560·80)/4960 = 121.1 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 240·10³/12 + 2400·(165 − 121.1)² = 4.639 × 10⁶ mm⁴

वेब: 16·160³/12 + 2560·(80 − 121.1)² = 9.792 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4.639 × 10⁶ + 9.792 × 10⁶ = 1.443 × 10⁷ mm⁴ = 14.43 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 14.43 × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 131.6 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167.5 mm

वेब: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·167.5 + 2240·80)/5540 = 132.1 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 220·15³/12 + 3300·(167.5 − 132.1)² = 4.192 × 10⁶ mm⁴

वेब: 14·160³/12 + 2240·(80 − 132.1)² = 1.086 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.192 × 10⁶ + 1.086 × 10⁷ = 1.506 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 132.1 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·132.1/1.506 × 10⁷ = 131.6 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 131.6 MPa

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