स्थैतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

फ़्रेम और मशीनें

हर अवयव का संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव: इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल: जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण: F = √(F_x² + F_y²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक: F_in·a = F_out·b
टॉगल: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में

विधि

पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2अभ्यास प्रश्न

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

a = (3, 0, −3) और b = (−5, −1, −2) का अदिश गुणनफल a·b ज्ञात कीजिए।

a = (3, 0, −3)b = (−5, −1, −2)

a·b =

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

एक बल F = (20, 20, 50) N बिंदु A(−3, −3, 3) पर कार्य करता है। निर्देशांक मीटर में हैं। बिंदु O(−3, −1, 1) के परितः बल के आघूर्ण का x-घटक M_x ज्ञात कीजिए।

F = (20, 20, 50) NA(−3, −3, 3) mO(−3, −1, 1) m

M_x = N·m

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

कैंटिलीवर बीम A पर दीवार में स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और दीवार से 3.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। दीवार पर प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP = 75 kN पर 3.5 mw = 12 kN/m, 0 से 5 m तक

M_A = kN·m

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 25 kN पर 2 mw = 12 kN/m, 0 से 1 m तक

R_A = kN

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

जोड़ विधि से अवयव AC में बल F_AC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 4 mB, A से 1 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 15 kN

F_AC = kN

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓F: 15 kN ↓F: 25 kN →G: 35 kN ↓

1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC

7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम

दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 3 m दूर हैं। पाए पिन C पर मिलते हैं, जो 3.6 m ऊँचा है, और क्षैतिज टाई DE भूमि से 1 m ऊपर है। C पर 5 kN का भार लगता है। पिन C का पाए BC पर लगाए गए बल C का परिमाण ज्ञात कीजिए।

P = 5 kNAB = 3 mC की ऊँचाई = 3.6 mDE की ऊँचाई = 1 m

C = kN

8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन

3 kN भार की एक एकसमान क्षैतिज बूम AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और B से दीवार पर बिंदु C तक एक केबल से थमी है, जो A से 3 m ऊपर है। B पर 5 kN का भार लटका है। पिन प्रतिक्रिया A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

W = 5 kNW_b = 3 kNAB = 2 mAC = 3 m

A = kN

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 4.5 m पर खंड में अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mw = 4 kN/m, 0 से 10 m तकx = 4.5 m

V_x = kN

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 0.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mP = 40 kN पर 1 mw = 2 kN/m, 0 से 10 m तकx = 0.5 m

M_x = kN·m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक चैनल खंड अपनी खुली ओर ऊपर करके रखा है: 160 mm चौड़ी आधार प्लेट और दो खड़ी भुजाएँ, कुल 180 mm ऊँची। आधार और भुजाएँ सभी 18 mm मोटी हैं। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 160 mmh = 180 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 50 MPa और संपीडन में 150 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा सैगिंग बंकन आघूर्ण M_allow ज्ञात कीजिए।

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3विलयन

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: a·b = −9

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

संगत घटकों को गुणा करें और जोड़ें

a·b = 3·(−5) + 0·(−1) + (−3)·(−2) = (−15) + 0 + 6 = −9

उत्तर

a·b = −9

ऋणात्मक: सदिशों के बीच का कोण 90° से अधिक है।

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: M_x = −140 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

O से A तक स्थिति सदिश

r = A − O = (−3, −3, 3) − (−3, −1, 1) = (0, −2, 2) m

आघूर्ण M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·50 − 2·20 = −140 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·20 − 0·50 = 40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·20 − (−2)·20 = 40 N·m

पूछा गया घटक

M_x = −140 N·m

उत्तर

M_x = −140 N·m

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: M_A = 412.5 kN·m

कैंटिलीवर संतुलन: स्थिर आलंब ऊपर धकेल सकता है और घूर्णन का प्रतिरोध भी कर सकता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A और एक प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A देता है। ΣF_y = 0 से R_A मिलता है, और दीवार के परितः आघूर्णों से M_A = Σ(भार × दीवार से दूरी)। वितरित भार भार आरेख के केंद्रक पर अपने परिणामी के रूप में कार्य करता है।

वितरित भार का परिणामी

W = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2.5 m

दीवार के परितः आघूर्ण

M_A = P·a + W·x̄ = 75·3.5 + 60·2.5 = 412.5 kN·m

उत्तर

M_A = 412.5 kN·m

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 30 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, x̄ = 0.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·2 + 12·1·0.5

R_B = 56/8 = 7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 7 = 30 kN

उत्तर

R_A = 30 kN

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AC = 3.281 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·1 → C_y = 1.875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 1.875 = 13.13 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1.875/0.4961 = −3.779 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3.779)·0.8682 = 3.281 kN

उत्तर

F_AC = 3.281 kN (तनाव)

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: सदस्य DH

शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।

संधि D

CD और DE एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल DH बचता है।

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

संधि विधि से जाँचें

सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।

AB: 64.69 kN (T), BC: 64.69 kN (T), CD: 39.06 kN (T), DE: 39.06 kN (T), FG: 78.12 kN (C), GH: 78.12 kN (C), AF: 66.15 kN (C), HE: 65.1 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 22.4 kN (T), HC: 65.1 kN (T)

उत्तर

शून्य-बल सदस्य: DH

7.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: C = 2.886 kN

फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।

पाए BC से टाई बल

B_y = 2.5 kN

T = 2.5·1.5/2.6 = 1.442 kN

BC पर पिन बल के घटक

C_x = T = 1.442 kN, C_y = −B_y = −2.5 kN

परिमाण

C = √(1.442² + 2.5²) = 2.886 kN

उत्तर

C = 2.886 kN

8.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: A = 4.586 kN

केबल का तनाव

T = (5 + 3/2)/0.8321 = 7.812 kN

A पर घटक

A_x = T·cos β = 4.333 kN

A_y = 5 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

परिमाण

A = √(4.333² + 1.5²) = 4.586 kN

उत्तर

A = 4.586 kN

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: V_x = 2 kN

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 4.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

V = R_A − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)

V_x = 20 − 4·4.5 = 2 kN

उत्तर

V_x = 2 kN

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 22.75 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·1 + 2·10·5

R_B = 140/10 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 14 = 46 kN

x = 0.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 46·0.5 − 2·0.5·0.25 = 22.75 kN·m

उत्तर

M_x = 22.75 kN·m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 28.45 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

आयतों में बाँटें

आधार को पूरी चौड़ाई पर और दोनों भुजाओं को उसके ऊपर (ऊँचाई h − t) लें, ताकि कुछ भी दो बार न गिना जाए।

आधार: A₁ = 160·18 = 2880 mm², y₁ = 9 mm

दो भुजाएँ: A₂ = 2·18·162 = 5832 mm², y₂ = 18 + 162/2 = 99 mm

केंद्रक

ȳ = (2880·9 + 5832·99)/8712 = 69.25 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

आधार: 160·18³/12 + 2880·(9 − 69.25)² = 1.053 × 10⁷ mm⁴

दो भुजाएँ: 2·18·162³/12 + 5832·(99 − 69.25)² = 1.792 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.053 × 10⁷ + 1.792 × 10⁷

I_x = 2.845 × 10⁷ mm⁴ = 28.45 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 28.45 × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: M_allow = 13.42 kN·m

केंद्रक

ȳ = (6500·272.5 + 3120·130)/9620 = 226.3 mm

ऊपरी कोर: c = 285 − 226.3 = 58.72 mm

क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण

I = 260·25³/12 + 6500·46.22² + 12·260³/12 + 3120·96.28² = 6.072 × 10⁷ mm⁴

हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण

सैगिंग: ऊपरी भाग संपीडन में, निचला भाग तनाव में।

ऊपरी कोर: M = 150·6.072 × 10⁷/58.72 = 155.1 kN·m

निचली कोर: M = 50·6.072 × 10⁷/226.3 = 13.42 kN·m

निर्णायक मान

M_allow = min = 13.42 kN·m (निचली कोर)

उत्तर

M_allow = 13.42 kN·m

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