वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 12, 44, 24, 54, 40।
n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 500 और मानक विचलन 25 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 462.5 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 500σ = 25x = 462.5
z =
3.प्रायिकतामध्यम
9 लोगों के समूह से 3 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।
n = 9k = 3
N =
4.प्रायिकताकठिन
एक परीक्षा में 7 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?
n = 7p = 0.5k = 4
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.7620 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.7620
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 10% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 51.5 h, ज्ञात मानक विचलन 9 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 52 h, ज्ञात मानक विचलन 13 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n₁ = 30x̄₁ = 51.5 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 52 hσ₂ = 13 h95%
ऊपरी सीमा = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 18 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?
σ = 18E = 390%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 6 छात्र, माध्य अंक 103.5, मानक विचलन 4। समूह 2: 6 छात्र, माध्य अंक 116.9, मानक विचलन 12। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n₁ = 6x̄₁ = 103.5s₁ = 4n₂ = 6x̄₂ = 116.9s₂ = 12
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 62.5 है। समष्टि मानक विचलन 20 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।
x̄ = 62.5σ = 20n = 1699%
L =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (2.5, 19) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 6(2.5, 19)
e =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 16.71
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 174/5 = 34.8
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−22.8)² + 9.2² + (−10.8)² + 19.2² + 5.2² = 1117
मानक विचलन
s = √(1117/4) = 16.71
उत्तर
s = 16.71
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = −1.5
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (462.5 − 500)/25 = −1.5
उत्तर
z = −1.5
3.प्रायिकता
उत्तर: N = 84
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
संचय
C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84
उत्तर
N = 84
4.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.2734
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
द्विपद सूत्र
P(X = 4) = 35·0.54·0.53 = 35·0.0625·0.125 = 0.2734
उत्तर
P = 0.2734
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 1.18
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = (1 + 0.7620)/2 = 0.8810
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.8810 खोजें और z पढ़ें।
z = 1.18
उत्तर
z = 1.18
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 551 h
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 0.9
सारणी से z
z ≈ 1.28
मूल इकाइयों में वापस
x = 500 + 1.28·40 = 551 h
उत्तर
x = 551 h
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 4.658 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 51.5 − 52 = −0.5
मानक त्रुटि
SE = √(9²/30 + 13²/40) = 2.632
त्रुटि सीमा
E = 1.96·2.632 = 5.158
अंतराल
−0.5 ± 5.158 → [−5.658, 4.658]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 4.658 h
अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 98
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.645·18/3)² = 97.42
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 98
उत्तर
n = 98
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −2.595
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
संयुक्त प्रसरण
sp² = (5·4² + 5·12²)/10 = 80
sp = 8.944
मानक त्रुटि
SE = 8.944·√(1/6 + 1/6) = 5.164
परीक्षण सांख्यिकी
t = (103.5 − 116.9)/5.164 = −2.595
उत्तर
t = −2.595
df = 10 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.228 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: L = 49.62
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 2.576·20/√16 = 12.88
अंतराल सीमा
L = 62.5 − 12.88 = 49.62
उत्तर
L = 49.62
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9841
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 245/6 = 40.83
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 268.8
सहसंबंध गुणांक
r = 67.5/√(17.5·268.8) = 0.9841
उत्तर
r = 0.9841
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = −4.267
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 130/6 = 21.67
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
समाश्रयण रेखा
b = −28/17.5 = −1.6
a = 21.67 − (−1.6)·3.5 = 27.27
ŷ = 27.27 − 1.6·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 27.27 + (−1.6)·2.5 = 23.27
अवशिष्ट
e = 19 − 23.27 = −4.267
उत्तर
e = −4.267
बिंदु रेखा के नीचे है।
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