सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
10152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 58, 43, 49, 10, 54, 23, 30।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 45 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 15x = 45
z =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.3520.330.1540.1550.05μ = 2.25

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.15, 0.05
σ =
4.प्रायिकताकठिन
n = 8, p = 0.1: P(X = 1) = ?k012345678

एक परीक्षा में 8 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 1 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 8p = 0.1k = 1
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
60 kg58.2 kgT = X₁ + … + X₅?

डिब्बे के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 12 kg और मानक विचलन 0.8 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 5 का कुल द्रव्यमान 58.2 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 5> 58.2 kg
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
380420460500540580620hऊपर 10%

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 10% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 8.595%, n = 25x̄E₂ = ?95%, n = 50

ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 8.5 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 50 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

95%n₁ = 25E₁ = 8.5n₂ = 50
E₂ =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 30σ = ?Us = 1.195%

30 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 1.1 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 29 के साथ χ² बंटन का 2.5% 16.047 से नीचे और 2.5% 45.722 से ऊपर है।

n = 30s = 1.1 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.98401.984

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 201.1 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 201.1s = 5n = 100
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ < 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 4 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 78.75 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 78.75σ = 4n = 64α = 0.05
1 − β = %
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy141354570782993xy5406080

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy284136178221029xy510102030x = 3

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3, 12) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(3, 12)
e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.68

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 267/7 = 38.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 19.86² + 4.857² + 10.86² + (−28.14)² + 15.86² + (−15.14)² + (−8.143)² = 1875

मानक विचलन

s = √(1875/6) = 17.68

उत्तर

s = 17.68
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (45 − 60)/15 = −1

उत्तर

z = −1
3.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.22

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.15 + 5·0.05 = 2.25

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.15 + 25·0.05 = 6.55

प्रसरण

Var(X) = 6.55 − 2.25² = 1.487
σ = √1.487 = 1.22

उत्तर

σ = 1.22
4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3826

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 1) = 8·0.11·0.97 = 8·0.1·0.4783 = 0.3826

उत्तर

P = 0.3826
5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8438

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 60 kg, σT = 0.8·√5 = 1.789 kg

मानकीकृत करें

z = (58.2 − 60)/1.789 = −1.01

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.01) = 0.8438

उत्तर

P = 0.8438
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 551 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.9

सारणी से z

z ≈ 1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 + 1.28·40 = 551 h

उत्तर

x = 551 h
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 6.01

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(25/50) = 0.7071

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 8.5·0.7071 = 6.01

उत्तर

E₂ = 6.01
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 0.8761 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 29·1.1² = 35.09

σ² की सीमाएँ

35.09/45.722 = 0.7675
35.09/16.047 = 2.187

σ की सीमा

σ = √0.7675 = 0.8761 µm

उत्तर

σ = 0.8761 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [0.8761, 1.479] µm।

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (201.1 − 200)/0.5 = 2.2

उत्तर

t = 2.2
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| > 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 80.37 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 4/√64 = 0.5
x̄c = 80 − 1.645·0.5 = 79.18

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (79.18 − 78.75)/0.5 = 0.855

शक्ति

शक्ति = P(Z < 0.855) = 80.37%
1 − β = 80.37%

उत्तर

1 − β = 80.37%
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9957

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 340/5 = 68

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1750

निर्धारण गुणांक

r² = 264²/(40·1750) = 0.9957

उत्तर

r² = 0.9957

y के विचरण का लगभग 99.57% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 1.85

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

समाश्रयण रेखा

b = 102/40 = 2.55
a = 17.8 − 2.55·6 = 2.5
ŷ = 2.5 + 2.55·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 2.5 + 2.55·3 = 10.15

अवशिष्ट

e = 12 − 10.15 = 1.85

उत्तर

e = 1.85

बिंदु रेखा के ऊपर है।

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