वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 41, 32, 33, 60, 54, 43।
n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 47.5 से अधिक है?
μ = 50σ = 5x = 47.5
P =
3.प्रायिकतामध्यम
8 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।
n = 8k = 4
N =
4.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.1, 0.15, 0.35, 0.2Y = 2X + 4
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
X प्रसामान्य है जिसका माध्य 60 s और मानक विचलन 5 s है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 45 s और मानक विचलन 4 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 99.9 s से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99.9 s
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
धावक A का चक्कर समय X और धावक B का चक्कर समय Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 52 s और मानक विचलन 4 s है, Y का माध्य 48 s और मानक विचलन 3 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
6 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 109 और मानक विचलन s = 17.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 6x̄ = 109s = 17.590%t(5) = 2.015
ऊपरी सीमा =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
25 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 4.8 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 24 के साथ χ² बंटन का 2.5% 12.401 से नीचे और 2.5% 39.364 से ऊपर है।
n = 25s = 4.8 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 30 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 143.5 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 15 mm है। लाइन 2: 30 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 150 mm, ज्ञात मानक विचलन 13 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
n₁ = 30x̄₁ = 143.5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 30x̄₂ = 150 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 120 में से 42 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 80 में से 20 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 20n₂ = 80
z =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5Σx = 100Σy = 448Σx² = 2090Σy² = 42200Σxy = 9383
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (6.5, 80) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 5(6.5, 80)
e =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 11.23
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 263/6 = 43.83
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−2.833)² + (−11.83)² + (−10.83)² + 16.17² + 10.17² + (−0.8333)² = 630.8
मानक विचलन
s = √(630.8/5) = 11.23
उत्तर
s = 11.23
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.6915
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −0.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
उत्तर
P = 0.6915
3.प्रायिकता
उत्तर: N = 70
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
संचय
C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70
उत्तर
N = 70
4.प्रायिकता
उत्तर: σY = 2.82
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 3.25, Var(X) = 1.988, σX = 1.41
रैखिक परिवर्तन
σY = |2|·1.41 = 2.82
उत्तर
σY = 2.82
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·3.25 + 4 = 10.5।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.7881
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
योग का बंटन
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
मानकीकृत करें
z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8
ऊपरी पुच्छ
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
उत्तर
P = 0.7881
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.7881
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
अंतर का बंटन
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
मानकीकृत करें
z = (0 − 4)/5 = −0.8
प्रायिकता
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
उत्तर
P = 0.7881
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 123.4
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 5, t = 2.015
त्रुटि सीमा
E = 2.015·17.5/√6 = 14.4
अंतराल
109 ± 14.4 → [94.6, 123.4]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 123.4
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: σ = 3.748 µm
प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।
वर्गों का योग
(n − 1)s² = 24·4.8² = 553
σ² की सीमाएँ
553/39.364 = 14.05
553/12.401 = 44.59
σ की सीमा
σ = √14.05 = 3.748 µm
उत्तर
σ = 3.748 µm
σ के लिए 95% अंतराल: [3.748, 6.678] µm।
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = −1.794
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
अंतर की मानक त्रुटि
SE = √(15²/30 + 13²/30) = √13.13 = 3.624
परीक्षण सांख्यिकी
z = (143.5 − 150)/3.624 = −1.794
उत्तर
z = −1.794
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 1.498
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 42/120 = 0.35
p̂₂ = 20/80 = 0.25
p̂ = 62/200 = 0.31
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.31·0.69·(1/120 + 1/80)) = 0.06676
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.35 − 0.25)/0.06676 = 1.498
उत्तर
z = 1.498
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9826
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 9383 − 100·448/5 = 423
Sxx = 2090 − 100²/5 = 90
Syy = 42200 − 448²/5 = 2059
सहसंबंध गुणांक
r = 423/√(90·2059) = 0.9826
उत्तर
r = 0.9826
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = 3.85
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 326/5 = 65.2
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73
समाश्रयण रेखा
b = 73/10 = 7.3
a = 65.2 − 7.3·5 = 28.7
ŷ = 28.7 + 7.3·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 28.7 + 7.3·6.5 = 76.15
अवशिष्ट
e = 80 − 76.15 = 3.85
उत्तर
e = 3.85
बिंदु रेखा के ऊपर है।
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