सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 34, 44, 47, 12, 27।

n = 5

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 93.6 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 8x = 93.6

z =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.1, 0.05, 0.35, 0.35

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.1 से €20 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €50; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€20: p = 0.1€50: p = 0.05

E(G) = €

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.7813 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.7813

z =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 25% आते हैं (25वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

11 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 108.5 और मानक विचलन s = 2 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 11x̄ = 108.5s = 299%t(10) = 3.169

ऊपरी सीमा =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 17 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?

σ = 17E = 295%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

एक समष्टि का माध्य 250 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 36 ज्ञात है। 144 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 254.8 है। H₀: μ = 250 बनाम H₁: μ > 250 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 250σ = 36n = 144x̄ = 254.8H₁: μ > μ₀

p =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 48.1 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 48.1σ = 5n = 3695%

U =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 21 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 21

ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.1

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 164/5 = 32.8

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 1.2² + 11.2² + 14.2² + (−20.8)² + (−5.8)² = 794.8

मानक विचलन

s = √(794.8/4) = 14.1

उत्तर

s = 14.1

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.8

मानकीकृत करें

z = (93.6 − 100)/8 = −0.8

उत्तर

z = −0.8

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 2.028

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.15 + 1·0.1 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.35 = 2.65

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.1 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.35 = 9.05

प्रसरण

Var(X) = 9.05 − 2.65² = 2.028

उत्तर

Var(X) = 2.028

4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −0.5 €

शुद्ध परिणाम

G: 15 (p = 0.1), 45 (p = 0.05), −5 (p = 0.85)

प्रत्याशित मान

E(G) = 15·0.1 + 45·0.05 − 5·0.85 = −0.5 €

उत्तर

E(G) = −0.5 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.23

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.7813)/2 = 0.8907

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.8907 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.23

उत्तर

z = 1.23

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 173.3 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

वापस x पर

x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm

उत्तर

x = 173.28 cm

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 110.4

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 10, t = 3.169

त्रुटि सीमा

E = 3.169·2/√11 = 1.911

अंतराल

108.5 ± 1.911 → [106.6, 110.4]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 110.4

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 278

n ज्ञात करें

n = (1.96·17/2)² = 277.6

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 278

उत्तर

n = 278

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.0548

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 36/√144 = 3

z = (254.8 − 250)/3 = 1.6

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.6) = 0.9452

1 − Φ(1.6) = 0.0548

p-मान

p = 0.0548

उत्तर

p = 0.0548

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 49.73

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.96·5/√36 = 1.633

अंतराल सीमा

U = 48.1 + 1.633 = 49.73

उत्तर

U = 49.73

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.813

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 122/5 = 24.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 49.2

निर्धारण गुणांक

r² = −20²/(10·49.2) = 0.813

उत्तर

r² = 0.813

y के विचरण का लगभग 81.3% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 66.85

माध्य

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 357/5 = 71.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182

समाश्रयण रेखा

b = 182/40 = 4.55

a = 71.4 − 4.55·22 = −28.7

ŷ = −28.7 + 4.55·x

पूर्वानुमान

ŷ = −28.7 + 4.55·21 = 66.85

उत्तर

ŷ = 66.85

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