सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 26, 48, 12, 16, 35।

n = 5

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 105 से अधिक है?

μ = 100σ = 5x = 105

P =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.15, 0.3, 0.35, 0.05

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €2 है। आप प्रायिकता 0.1 से €10 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €2€10: p = 0.1€100: p = 0.05

E(G) = €

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 8 का कुल द्रव्यमान 201.4 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8> 201.4 kg

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 40% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

6 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 90.5 और मानक विचलन s = 4.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 6x̄ = 90.5s = 4.599%t(5) = 4.032

E =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 40 kg, मानक विचलन 8 kg। प्लॉट समूह 2: 5 प्लॉट, माध्य 44 kg, मानक विचलन 7 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 40s₁ = 8n₂ = 5x̄₂ = 44s₂ = 795%t(10) = 2.228

निचली सीमा = kg

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 117.1 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 117.1s = 8n = 25

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो? मानक विचलन 15 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 15E = 2.599%

n =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6

r =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (23, 132) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(23, 132)

e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.59

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 137/5 = 27.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.4)² + 20.6² + (−15.4)² + (−11.4)² + 7.6² = 851.2

मानक विचलन

s = √(851.2/4) = 14.59

उत्तर

s = 14.59

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1587

मानकीकृत करें

z = 1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.3

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.15 + 2·0.15 + 3·0.3 + 4·0.35 + 5·0.05 = 3

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.15 + 9·0.3 + 16·0.35 + 25·0.05 = 10.3

प्रसरण

Var(X) = 10.3 − 3² = 1.3

उत्तर

Var(X) = 1.3

4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 4 €

शुद्ध परिणाम

G: 8 (p = 0.1), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.85)

प्रत्याशित मान

E(G) = 8·0.1 + 98·0.05 − 2·0.85 = 4 €

उत्तर

E(G) = 4 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1611

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

मानकीकृत करें

z = (201.4 − 200)/1.414 = 0.99

प्रायिकता

P = 1 − Φ(0.99) = 0.1611

उत्तर

P = 0.1611

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 510 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.6

सारणी से z

z ≈ 0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 + 0.25·40 = 510 h

उत्तर

x = 510 h

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 7.407

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 5, t = 4.032

त्रुटि सीमा

E = 4.032·4.5/√6 = 7.407

उत्तर

E = 7.407

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −13.94 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (6·8² + 4·7²)/10 = 58

s_p = 7.616

त्रुटि सीमा

E = 2.228·7.616·√(1/7 + 1/5) = 9.935

अंतराल

−4 ± 9.935 → [−13.94, 5.935]

उत्तर

निचली सीमा = −13.94 kg

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.813

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

परीक्षण सांख्यिकी

t = (117.1 − 120)/1.6 = −1.813

उत्तर

t = −1.813

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 239

n ज्ञात करें

n = (2.576·15/2.5)² = 238.9

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 239

उत्तर

n = 239

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9988

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 193/6 = 32.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1131

सहसंबंध गुणांक

r = 281/√(70·1131) = 0.9988

उत्तर

r = 0.9988

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 2.5

माध्य

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 777/6 = 129.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 395

समाश्रयण रेखा

b = 395/70 = 5.643

a = 129.5 − 5.643·23 = −0.2857

ŷ = −0.2857 + 5.643·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −0.2857 + 5.643·23 = 129.5

अवशिष्ट

e = 132 − 129.5 = 2.5

उत्तर

e = 2.5

बिंदु रेखा के ऊपर है।

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