1.आसान
समीकरण y″ + 7y′ + 6y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 7y′ + 6y = 0
r =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + 2.5y′ + 25y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
y″ + 2.5y′ + 25y = 0
ζ =
3.मध्यम
4 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 29 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 8 min के बाद इसका तापमान 14 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 23 °C तक पहुँचता है?
T0 = 4 °CTa = 29 °CT(8) = 14 °CT = 23 °C
t = min
4.मध्यम
91 °C पर कॉफ़ी का एक कप 22 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 30 min के बाद इसका तापमान 24 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 91 °CTa = 22 °CT(30) = 24 °C
k = min⁻¹
5.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = x2 को y(1) = −1 के साथ हल कीजिए। y(3) ज्ञात कीजिए।
y′ + 2y/x = x2y(1) = −1
y(3) =
6.कठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। उसकी पग अनुक्रिया का शिखर मान ymax ज्ञात कीजिए।
y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
उत्तर कुंजी
- 1. r = −1
- 2. ζ = 0.25
- 3. t = 22.35 min
- 4. k = 0.118 min⁻¹
- 5. y(3) = 5.267
- 6. ymax = 1.308
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