उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट

एक रेडियोधर्मी ट्रेसर की अर्ध-आयु 30 दिन है। एक नमूने में प्रारंभ में 50 mg है। क्षय dm/dt = −k·m के अनुसार होता है। 80 दिन के बाद कितना m शेष रहता है?

समीकरण y″ + 4y′ + 3y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।

86 °C पर कॉफ़ी का एक कप 23 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 24 min के बाद इसका तापमान 29 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।

5 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 24 °C वाले कमरे में लाया जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.06 min⁻¹ के साथ 9 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।

एक टैंक में 1000 L जल है जिसमें 10 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.2 kg नमक वाला लवणजल 4 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। कितने मिनट t बाद टैंक में 124 kg नमक होगा?

x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 3y/x = 5x को y(1) = 0 के साथ हल कीजिए। y(3) ज्ञात कीजिए।