1.आसान
समीकरण y″ + 5y′ + 6y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
एक राशि k > 0 के साथ dy/dt = k·y के अनुसार बढ़ती है। t = 0 पर यह 250 और t = 10 h पर 350 है। दर स्थिरांक k h⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
y(0) = 250y(10) = 350
k = h⁻¹
3.मध्यम
3 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 29 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 14 min के बाद इसका तापमान 16 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 3 °CTa = 29 °CT(14) = 16 °C
k = min⁻¹
4.मध्यम
80 °C पर कॉफ़ी का एक कप 19 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.03 min⁻¹ के साथ 19 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।
T0 = 80 °CTa = 19 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 19 min
T = °C
5.कठिन
एक टैंक में 500 L जल है जिसमें 5 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.25 kg नमक वाला लवणजल 20 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। 25 min के बाद टैंक में कितना नमक m है?
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0.25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = x2 को y(1) = 3 के साथ हल कीजिए। y(3) ज्ञात कीजिए।
y′ + 2y/x = x2y(1) = 3
y(3) =
उत्तर कुंजी
- 1. r = −2
- 2. k = 0.03365 h⁻¹
- 3. k = 0.04951 min⁻¹
- 4. T = 53.5 °C
- 5. m = 80.85 kg
- 6. y(3) = 5.711
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