1.आसान
एक राशि k > 0 के साथ dy/dt = k·y के अनुसार बढ़ती है। t = 0 पर यह 400 और t = 7 h पर 560 है। दर स्थिरांक k h⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
y(0) = 400y(7) = 560
k = h⁻¹
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 8y′ + 15y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 8y′ + 15y = 0
r =
3.मध्यम
81 °C पर कॉफ़ी का एक कप 19 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 27 min के बाद इसका तापमान 24 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 64 °C तक पहुँचता है?
T0 = 81 °CTa = 19 °CT(27) = 24 °CT = 64 °C
t = min
4.मध्यम
5 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 26 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 21 min के बाद इसका तापमान 15 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 5 °CTa = 26 °CT(21) = 15 °C
k = min⁻¹
5.कठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 2y′ + 26y = 26 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। उसकी पग अनुक्रिया का शिखर मान ymax ज्ञात कीजिए।
y″ + 2y′ + 26y = 26y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.कठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 4y′ + 29y = 29 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(1.5) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
उत्तर कुंजी
- 1. k = 0.04807 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. t = 3.437 min
- 4. k = 0.03079 min⁻¹
- 5. ymax = 1.533
- 6. y(1.5) = 0.9641
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