1.आसान
एक राशि k > 0 के साथ dy/dt = −k·y के अनुसार घटती है। t = 0 पर यह 80 और t = 4 h पर 68 है। दर स्थिरांक k h⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
y(0) = 80y(4) = 68
k = h⁻¹
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 7y′ + 12y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.मध्यम
340 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 30 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 30 min के बाद इसका तापमान 123 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 340 °CTa = 30 °CT(30) = 123 °C
k = min⁻¹
4.मध्यम
y(0) = 5 और y′(0) = 0 के साथ y″ + 4y′ + 4y = 0 हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए।
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.5) =
5.कठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 4y′ + 20y = 20 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(0.25) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.कठिन
y(0) = 1 के साथ y′ + 0.5y = 9e−t हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।
y′ + 0.5y = 9e−ty(0) = 1
y(1.5) =
उत्तर कुंजी
- 1. k = 0.04063 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. k = 0.04013 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 3.679
- 5. y(0.25) = 0.4171
- 6. y(1.5) = 4.959
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