1.आसान
एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + 12y′ + 16y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
y″ + 12y′ + 16y = 0
ζ =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 9y′ + 18y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
3.मध्यम
300 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 23 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 39 min के बाद इसका तापमान 62 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 300 °CTa = 23 °CT(39) = 62 °C
k = min⁻¹
4.मध्यम
440 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 21 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 20 min के बाद इसका तापमान 175 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 75 °C तक पहुँचता है?
T0 = 440 °CTa = 21 °CT(20) = 175 °CT = 75 °C
t = min
5.कठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 2y′ + 17y = 34 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(0.5) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.कठिन
y(0) = 5 और y′(0) = 0 (विराम से छोड़ा गया) के साथ y″ + y′ + 9.25y = 0 हल कीजिए। y(0.75) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.75) =
उत्तर कुंजी
- 1. ζ = 1.5
- 2. r = −3
- 3. k = 0.05027 min⁻¹
- 4. t = 40.94 min
- 5. y(0.5) = 2.229
- 6. y(0.75) = −1.713
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