1.आसान
एक रेडियोधर्मी ट्रेसर की अर्ध-आयु 17 दिन है। एक नमूने में प्रारंभ में 80 mg है। क्षय dm/dt = −k·m के अनुसार होता है। 11 दिन के बाद कितना m शेष रहता है?
m0 = 80 mgt½ = 17 dt = 11 d
m = mg
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 7y′ + 10y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 7y′ + 10y = 0
r =
3.मध्यम
420 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 29 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 36 min के बाद इसका तापमान 162 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 420 °CTa = 29 °CT(36) = 162 °C
k = min⁻¹
4.मध्यम
83 °C पर कॉफ़ी का एक कप 21 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.05 min⁻¹ के साथ 6 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।
T0 = 83 °CTa = 21 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 6 min
T = °C
5.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + y/x = 4 को y(1) = 0 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
y′ + y/x = 4y(1) = 0
y(2) =
6.कठिन
y(0) = 2 के साथ y′ + y = 5e−2t हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।
y′ + y = 5e−2ty(0) = 2
y(1) =
उत्तर कुंजी
- 1. m = 51.09 mg
- 2. r = −2
- 3. k = 0.02995 min⁻¹
- 4. T = 66.93 °C
- 5. y(2) = 3
- 6. y(1) = 1.898
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