1.आसान
एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + 2.4y′ + 36y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
y″ + 2.4y′ + 36y = 0
ζ =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 6y′ + 8y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.मध्यम
420 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 22 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 42 min के बाद इसका तापमान 71 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 51 °C तक पहुँचता है?
T0 = 420 °CTa = 22 °CT(42) = 71 °CT = 51 °C
t = min
4.मध्यम
y(0) = 5 और y′(0) = -2 के साथ y″ + 8y′ + 15y = 0 हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(1.5) =
5.कठिन
एक टैंक में 400 L जल है जिसमें 5 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.05 kg नमक वाला लवणजल 5 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। 95 min के बाद टैंक में कितना नमक m है?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0.05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.कठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 2y′ + 5y = 50 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। उसकी पग अनुक्रिया का शिखर मान ymax ज्ञात कीजिए।
y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
उत्तर कुंजी
- 1. ζ = 0.2
- 2. r = −2
- 3. t = 52.52 min
- 4. y(1.5) = 0.1242
- 5. m = 15.43 kg
- 6. ymax = 12.08
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