1.आसान
एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + 6y′ + 100y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
y″ + 6y′ + 100y = 0
ζ =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 3y′ + 2y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
3.मध्यम
89 °C पर कॉफ़ी का एक कप 22 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 8 min के बाद इसका तापमान 75 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 89 °CTa = 22 °CT(8) = 75 °C
k = min⁻¹
4.मध्यम
340 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 24 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.05 min⁻¹ के साथ 12 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।
T0 = 340 °CTa = 24 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 12 min
T = °C
5.कठिन
y(0) = 3 और y′(0) = 0 (विराम से छोड़ा गया) के साथ y″ + 3y′ + 6.25y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + 3y′ + 6.25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1) =
6.कठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 2y′ + 10y = 50 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(0.5) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
उत्तर कुंजी
- 1. ζ = 0.3
- 2. r = −1
- 3. k = 0.0293 min⁻¹
- 4. T = 197.4 °C
- 5. y(1) = 0.1779
- 6. y(0.5) = 3.777
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