1.आसान
एक राशि k > 0 के साथ dy/dt = −k·y के अनुसार घटती है। t = 0 पर यह 100 और t = 8 h पर 40 है। दर स्थिरांक k h⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
y(0) = 100y(8) = 40
k = h⁻¹
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 5y′ + 6y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
3.मध्यम
92 °C पर कॉफ़ी का एक कप 21 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 21 min के बाद इसका तापमान 41 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 61 °C तक पहुँचता है?
T0 = 92 °CTa = 21 °CT(21) = 41 °CT = 61 °C
t = min
4.मध्यम
y(0) = 3 और y′(0) = 0 के साथ y″ + 2y′ + y = 0 हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए।
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.5) =
5.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 3y/x = 2x को y(1) = −2 के साथ हल कीजिए। y(3) ज्ञात कीजिए।
y′ + 3y/x = 2xy(1) = −2
y(3) =
6.कठिन
y(0) = 5 के साथ y′ + 3y = 9e−t हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।
y′ + 3y = 9e−ty(0) = 5
y(1.5) =
उत्तर कुंजी
- 1. k = 0.1145 h⁻¹
- 2. r = −2
- 3. t = 9.511 min
- 4. y(0.5) = 2.729
- 5. y(3) = 3.511
- 6. y(1.5) = 1.01
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