1.आसान
समीकरण y″ + 8y′ + 12y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
समीकरण y″ + 5y′ + 4y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.मध्यम
420 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 23 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 13 min के बाद इसका तापमान 329 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 191 °C तक पहुँचता है?
T0 = 420 °CTa = 23 °CT(13) = 329 °CT = 191 °C
t = min
4.मध्यम
84 °C पर कॉफ़ी का एक कप 23 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 30 min के बाद इसका तापमान 37 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 84 °CTa = 23 °CT(30) = 37 °C
k = min⁻¹
5.कठिन
एक टैंक में 500 L जल है जिसमें 10 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.1 kg नमक वाला लवणजल 2 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। 5 min के बाद टैंक में कितना नमक m है?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0.1 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.कठिन
y(0) = 0 के साथ y′ + 0.5y = 4e−3t हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।
y′ + 0.5y = 4e−3ty(0) = 0
y(1.5) =
उत्तर कुंजी
- 1. r = −2
- 2. r = −1
- 3. t = 42.94 min
- 4. k = 0.04906 min⁻¹
- 5. m = 10.79 kg
- 6. y(1.5) = 0.738
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