1.आसान
एक राशि k > 0 के साथ dy/dt = −k·y के अनुसार घटती है। t = 0 पर यह 80 और t = 8 h पर 16 है। दर स्थिरांक k h⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
y(0) = 80y(8) = 16
k = h⁻¹
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + 19.2y′ + 64y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
y″ + 19.2y′ + 64y = 0
ζ =
3.मध्यम
6 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 23 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 21 min के बाद इसका तापमान 20 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 6 °CTa = 23 °CT(21) = 20 °C
k = min⁻¹
4.मध्यम
6 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 29 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 9 min के बाद इसका तापमान 19 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 10 °C तक पहुँचता है?
T0 = 6 °CTa = 29 °CT(9) = 19 °CT = 10 °C
t = min
5.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = 3x को y(1) = −3 के साथ हल कीजिए। y(3) ज्ञात कीजिए।
y′ + 2y/x = 3xy(1) = −3
y(3) =
6.कठिन
y(0) = 2 और y′(0) = 0 (विराम से छोड़ा गया) के साथ y″ + 3y′ + 27.25y = 0 हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + 3y′ + 27.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.5) =
उत्तर कुंजी
- 1. k = 0.2012 h⁻¹
- 2. ζ = 1.2
- 3. k = 0.0826 min⁻¹
- 4. t = 2.064 min
- 5. y(3) = 6.333
- 6. y(0.5) = −0.5872
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