1.आसान
एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + y′ + 4y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
y″ + y′ + 4y = 0
ζ =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
एक राशि k > 0 के साथ dy/dt = −k·y के अनुसार घटती है। t = 0 पर यह 50 और t = 8 h पर 38 है। दर स्थिरांक k h⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
y(0) = 50y(8) = 38
k = h⁻¹
3.मध्यम
360 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 28 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 15 min के बाद इसका तापमान 240 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 288 °C तक पहुँचता है?
T0 = 360 °CTa = 28 °CT(15) = 240 °CT = 288 °C
t = min
4.मध्यम
5 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 24 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 7 min के बाद इसका तापमान 10 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 5 °CTa = 24 °CT(7) = 10 °C
k = min⁻¹
5.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + y/x = 4x को y(1) = 1 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
y′ + y/x = 4xy(1) = 1
y(2) =
6.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = 1 को y(1) = −3 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
y′ + 2y/x = 1y(1) = −3
y(2) =
उत्तर कुंजी
- 1. ζ = 0.25
- 2. k = 0.0343 h⁻¹
- 3. t = 8.175 min
- 4. k = 0.04363 min⁻¹
- 5. y(2) = 5.167
- 6. y(2) = −0.1667
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