1.आसान
समीकरण y″ + 8y′ + 12y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
उत्तरों सहित अवकल समीकरण वर्कशीट
2.आसान
एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + 4.8y′ + 64y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
y″ + 4.8y′ + 64y = 0
ζ =
3.मध्यम
88 °C पर कॉफ़ी का एक कप 21 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 26 min के बाद इसका तापमान 25 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 88 °CTa = 21 °CT(26) = 25 °C
k = min⁻¹
4.मध्यम
3 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 25 °C वाले कमरे में लाया जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.03 min⁻¹ के साथ 26 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।
T0 = 3 °CTa = 25 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 26 min
T = °C
5.कठिन
y(0) = 3 के साथ y′ + 0.5y = 6e−3t हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए।
y′ + 0.5y = 6e−3ty(0) = 3
y(0.5) =
6.कठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 3y/x = 3 को y(1) = 0 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
y′ + 3y/x = 3y(1) = 0
y(2) =
उत्तर कुंजी
- 1. r = −2
- 2. ζ = 0.3
- 3. k = 0.1084 min⁻¹
- 4. T = 14.92 °C
- 5. y(0.5) = 3.67
- 6. y(2) = 1.406
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