1.आसान
प्रारंभिक मान x₀ = 1 के साथ f(x) = x³ − x − 5 पर न्यूटन–रैफ़्सन लगाएँ। x1 ज्ञात करें।
f(x) = x³ − x − 5f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1
x1 =
उत्तरों सहित संख्यात्मक विधियाँ वर्कशीट
2.आसान
प्रारंभिक मान x₀ = 0.5 के साथ f(x) = cos x − x पर न्यूटन–रैफ़्सन लगाएँ। x2 ज्ञात करें।
f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0.5
x2 =
3.मध्यम
समलंब नियम ∫13 1/x dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [1, 3] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 1 × 10⁻⁵ से कम होना सुनिश्चित करे।
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.मध्यम
समलंब नियम ∫12 1/x dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [1, 2] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 1 × 10⁻⁵ से कम होना सुनिश्चित करे।
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.कठिन
y′ = −0.5y, y(0) = 0.5 को यूलर विधि से चरण h = 0.5 के साथ t = 1.5 तक हल करें। यथार्थ हल y = y₀e−0.5t है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(1.5) − y3| ज्ञात करें।
y′ = −0.5yy(0) = 0.5h = 0.5
|E| =
6.कठिन
y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0.5 के लिए h = 0.1 के साथ ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) से y2 ≈ y(0.2) आकलित करें।
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.1
y2 =
उत्तर कुंजी
- 1. x1 = 3.5
- 2. x2 = 0.7391
- 3. n = 366
- 4. n = 130
- 5. |E| = 0.02525
- 6. y2 = 0.7131
पूरे चरण-दर-चरण हल: इस विषय का अभ्यास examproblems.com पर करें।