1.आसान
प्रारंभिक मान x₀ = 1 के साथ f(x) = x³ − x − 3 पर न्यूटन–रैफ़्सन लगाएँ। x2 ज्ञात करें।
f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1
x2 =
उत्तरों सहित संख्यात्मक विधियाँ वर्कशीट
2.आसान
द्विभाजन विधि 0.5 लंबाई के अंतराल से शुरू होती है। हर चरण अंतराल को आधा करता है। अंतराल 0.001 से छोटा होने से पहले कम से कम कितने चरण n चाहिए?
b − a = 0.5ε = 0.001
n =
3.मध्यम
समलंब नियम ∫12 1/x dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [1, 2] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.0001 से कम होना सुनिश्चित करे।
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0.0001
n =
4.मध्यम
∫02 x³ dx का सन्निकटन समलंब नियम से n = 2 के साथ करें और यथार्थ मान से तुलना करें। निरपेक्ष त्रुटि |E| = |T − I| ज्ञात करें।
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
5.कठिन
y′ = 0.5y, y(0) = 3 को यूलर विधि से चरण h = 0.2 के साथ t = 1 तक हल करें। यथार्थ हल y = y₀e0.5t है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(1) − y5| ज्ञात करें।
y′ = 0.5yy(0) = 3h = 0.2
|E| =
6.कठिन
y′ = −2ty, y(0) = 3 को यूलर विधि से चरण h = 0.1 के साथ t = 0.4 तक हल करें। यथार्थ हल y = y₀e−t² है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(0.4) − y4| ज्ञात करें।
y′ = −2tyy(0) = 3h = 0.1
|E| =
उत्तर कुंजी
- 1. x2 = 1.93
- 2. n = 9
- 3. n = 41
- 4. |E| = 1
- 5. |E| = 0.1146
- 6. |E| = 0.09662
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