1.आसान
प्रारंभिक मान x₀ = 1 के साथ f(x) = ln x + x − 3 पर न्यूटन–रैफ़्सन लगाएँ। x2 ज्ञात करें।
f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
उत्तरों सहित संख्यात्मक विधियाँ वर्कशीट
2.आसान
द्विभाजन विधि 3 लंबाई के अंतराल से शुरू होती है। हर चरण अंतराल को आधा करता है। अंतराल 0.05 से छोटा होने से पहले कम से कम कितने चरण n चाहिए?
b − a = 3ε = 0.05
n =
3.मध्यम
समलंब नियम ∫01 eˣ dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [0, 1] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.0001 से कम होना सुनिश्चित करे।
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0.0001
n =
4.मध्यम
∫14 1/x dx का सन्निकटन समलंब नियम से n = 4 के साथ करें और यथार्थ मान से तुलना करें। निरपेक्ष त्रुटि |E| = |T − I| ज्ञात करें।
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 4
|E| =
5.कठिन
y′ = y(2 − y), y(0) = 0.5 को यूलर विधि से चरण h = 0.2 के साथ t = 1 तक हल करें। यथार्थ हल y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t) है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(1) − y5| ज्ञात करें।
y′ = y(2 − y)y(0) = 0.5h = 0.2
|E| =
6.कठिन
y′ = e−ty, y(0) = 0.5 के लिए h = 0.2 के साथ ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) से y2 ≈ y(0.4) आकलित करें।
y′ = e−tyy(0) = 0.5h = 0.2
y2 =
उत्तर कुंजी
- 1. x2 = 2.205
- 2. n = 6
- 3. n = 48
- 4. |E| = 0.0418
- 5. |E| = 0.01276
- 6. y2 = 0.845
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