उत्तरों सहित इष्टतमीकरण वर्कशीट

एक किसान के पास एक सीधी नदी के किनारे एक आयताकार खेत घेरने के लिए 40 m बाड़ है। नदी के किनारे बाड़ की आवश्यकता नहीं है। घेरा जा सकने वाला सबसे बड़ा क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

18 cm × 18 cm की एक वर्गाकार गत्ते की चादर के चारों कोनों से भुजा x के बराबर वर्ग काटकर और किनारों को मोड़कर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। सबसे बड़ा आयतन देने वाला कट x ज्ञात कीजिए।

वर्गाकार आधार वाले एक खुले डिब्बे (बिना ढक्कन) में 13500 cm³ आना चाहिए। सबसे कम संभव सामग्री का उपयोग करें, अर्थात आधार और चारों भुजाओं का सबसे छोटा क्षेत्रफल। ऊँचाई h ज्ञात कीजिए।

एक बंद बेलनाकार डिब्बे (ऊपर और नीचे सहित) में 400 cm³ आना चाहिए। प्रयुक्त धातु कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सबसे कम सामग्री लेने वाली त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

एक छोटी फ़र्म अपना उत्पाद €60 प्रति इकाई के स्थिर बाज़ार मूल्य पर बेचती है। q इकाइयाँ बनाने की लागत C(q) = 1100 + 6q + 0.2q² यूरो है। अधिकतम लाभ P ज्ञात कीजिए।

एक थिएटर प्रति शो €10 प्रति टिकट पर 680 टिकट बेचता है। बाज़ार अनुसंधान दिखाता है कि टिकट मूल्य में हर €1 की वृद्धि से 20 टिकट कम बिकते हैं (और हर €1 की कमी से 20 अधिक)। प्रति शो अधिकतम राजस्व R ज्ञात कीजिए।