उत्तरों सहित स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ वर्कशीट

किसी संवृत-लूप का अभिलाक्षणिक समीकरण s³ + a·s² + 6s + 30 = 0 है। वह मान a ज्ञात कीजिए जिससे ऊपर तंत्र स्थायी होता है।

किसी संवृत-लूप का अभिलाक्षणिक समीकरण s³ + a·s² + 2s + 5 = 0 है। वह मान a ज्ञात कीजिए जिससे ऊपर तंत्र स्थायी होता है।

संयंत्र G(s) = (s + 8)/((s − 4)(s + 1)) का एक अस्थायी ध्रुव s = 4 पर है। एक आनुपातिक लब्धि K इसके चारों ओर एकांक पुनर्निवेश लूप बनाती है। वह सबसे छोटी लब्धि K_min ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को स्थायी बनाती है।

आरेख वाले लूप का विवृत-लूप अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10)) है। लब्धि तब तक बढ़ाई जाती है जब तक संवृत-लूप स्थायित्व की कगार पर नहीं आ जाता। सतत दोलन की आवृत्ति ω ज्ञात कीजिए।

L(s) = K/((s + 5)(s + 9)) का मूल बिंदुपथ दिखाया गया है। विचलन बिंदु s_b पर लब्धि K ज्ञात कीजिए, जहाँ दोनों संवृत-लूप ध्रुव वास्तविक अक्ष पर मिलते हैं।

L(s) = K/((s + 6)(s² + 4s + 20)) के लिए ऊपरी अर्ध-तल के सम्मिश्र ध्रुव से मूल बिंदुपथ का प्रस्थान कोण θ_d ज्ञात कीजिए, धनात्मक वास्तविक अक्ष से मापा हुआ।