उत्तरों सहित स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ वर्कशीट

किसी संवृत-लूप का अभिलाक्षणिक समीकरण s³ + a·s² + 8s + 40 = 0 है। वह मान a ज्ञात कीजिए जिससे ऊपर तंत्र स्थायी होता है।

किसी पुनर्निवेश तंत्र का अभिलाक्षणिक बहुपद Q(s) = s⁴ + 2s³ + 7s² + 4s − 9 है। राउथ सारणी बनाइए और ज्ञात कीजिए कि Q(s) के कितने मूल N दाएँ अर्ध-तल में हैं।

आरेख वाले लूप में ऋणात्मक पुनर्निवेश है और L(s) = 1056/(s(s + 3)(s + 8)) है। कितने संवृत-लूप ध्रुव N दाएँ अर्ध-तल में हैं?

एक एकांक पुनर्निवेश लूप में L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5)) है, जहाँ K > 0। वह सबसे बड़ी लब्धि K_max ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत-लूप स्थायी है।

L(s) = K(s + 9)/(s(s + 5)) का मूल बिंदुपथ s = 0 और s = −5 के बीच वास्तविक अक्ष को छोड़ता है, चक्कर लगाता है और शून्य के बाईं ओर फिर वास्तविक अक्ष से मिल जाता है। संगम बिंदु s_i ज्ञात कीजिए।

L(s) = K/((s + 1)(s + 9)) का मूल बिंदुपथ दिखाया गया है। विचलन बिंदु s_b पर लब्धि K ज्ञात कीजिए, जहाँ दोनों संवृत-लूप ध्रुव वास्तविक अक्ष पर मिलते हैं।