Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Soal latihan AP Statistics: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Uji chi-kuadrat
- Statistik uji
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uji kecocokan
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Independensi
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai kritis (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 24, 10, 13, 35, 52.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 25. Tentukan skor z z untuk nilai 537,5.
μ = 500σ = 25x = 537,5
z =
3.PeluangSedang
Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?
3 / 8
P =
4.PeluangSulit
10 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,1. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 10p = 0,1
P =
5.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 440 dan 542 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 542
P =
6.Distribusi normalSulit
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
7.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 120Σy = 500Σx² = 2970Σy² = 51734Σxy = 12387
r =
8.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 61?
n = 5ŷ = 61
x =
9.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 40 ponsel, rata-rata 120,5 h, simpangan baku diketahui 4 h. Model 2: 100 ponsel, rata-rata 135,5 h, simpangan baku diketahui 20 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 120,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 100x̄₂ = 135,5 hσ₂ = 20 h99%
batas bawah = h
10.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 5. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?
σ = 5E = 1,590%
n =
11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 80 komponen memiliki rata-rata panjang 113 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 13 mm. Lini 2: sampel 40 komponen memiliki rata-rata 107 mm, simpangan baku diketahui 12 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).
n₁ = 80x̄₁ = 113 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 40x̄₂ = 107 mmσ₂ = 12 mm
z =
12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 80 melawan H₁: μ < 80 dilakukan pada α = 0.01 dengan sampel berukuran 64; simpangan bakunya diketahui 24. Kenyataannya, rata-ratanya 71. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.
μ₀ = 80μ = 71σ = 24n = 64α = 0,01
β = %
13.Uji chi-kuadratSedang
Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.
N = 1402 × 3
χ² =
14.Uji chi-kuadratSulit
Uji kecocokan chi-kuadrat memeriksa apakah frekuensi dalam 7 kategori mengikuti distribusi Poisson yang rata-ratanya diestimasi dari data yang sama. Dengan memakai tabel, cari nilai kritis χ²crit pada taraf signifikansi α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 15,66
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 168/6 = 28
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 6² + (−4)² + (−18)² + (−15)² + 7² + 24² = 1226
Simpangan baku
s = √(1226/5) = 15,66
Jawaban
s = 15,66
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = 1,5
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (537,5 − 500)/25 = 1,5
Jawaban
z = 1,5
3.Peluang
Jawaban: P = 0,05455
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455
Jawaban
P = 0,05455
4.Peluang
Jawaban: P = 0,7361
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,910 = 0,3487
P(X = 1) = 10·0,1·0,99 = 0,3874
Jumlahkan
P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361
Jawaban
P = 0,7361
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7863
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5
z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05
Luas di antara
P = Φ(1,05) − Φ(−1,5) = 0,8531 − 0,06681 = 0,7863
Jawaban
P = 0,7863
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 448,7 h
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Kembali ke x
x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h
Jawaban
x = 448,74 h
7.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9796
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 12387 − 120·500/5 = 387
Sxx = 2970 − 120²/5 = 90
Syy = 51734 − 500²/5 = 1734
Koefisien korelasi
r = 387/√(90·1734) = 0,9796
Jawaban
r = 0,9796
8.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 3,948
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 379/5 = 75,8
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194
Garis regresi
b = 194/40 = 4,85
a = 75,8 − 4,85·7 = 41,85
ŷ = 41,85 + 4,85·x
Selesaikan untuk x
x = (61 − 41,85)/4,85 = 3,948
Jawaban
x = 3,948
9.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = −20,4 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 120,5 − 135,5 = −15
Galat baku
SE = √(4²/40 + 20²/100) = 2,098
Margin galat
E = 2,576·2,098 = 5,403
Selang
−15 ± 5,403 → [−20,4, −9,597]
Jawaban
batas bawah = −20,4 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
10.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 31
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·5/1,5)² = 30,07
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 31
Jawaban
n = 31
11.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 2,51
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Galat baku selisih
SE = √(13²/80 + 12²/40) = √5,713 = 2,39
Statistik uji
z = (113 − 107)/2,39 = 2,51
Jawaban
z = 2,51
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
12.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: β = 25,02 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 80 − 2,326·3 = 73,02
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (73,02 − 71)/3 = 0,674
Galat tipe II
kuasa = P(Z < 0.674) = 74.98%
β = 100% − 74,98% = 25,02%
Jawaban
β = 25,02%
13.Uji chi-kuadrat
Jawaban: χ² = 12,32
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Frekuensi harapan
perkotaan: 40·70/140 = 20, 40·35/140 = 10, 40·35/140 = 10
perdesaan: 100·70/140 = 50, 100·35/140 = 25, 100·35/140 = 25
Statistik chi-kuadrat
χ² = (16 − 20)²/20 + (6 − 10)²/10 + (18 − 10)²/10 + (54 − 50)²/50 + (29 − 25)²/25 + (17 − 25)²/25
χ² = 12,32
Jawaban
χ² = 12,32
df = 2. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 5,991, sehingga H₀ (independensi) ditolak.
14.Uji chi-kuadrat
Jawaban: χ²crit = 11,07
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Derajat kebebasan
df = 7 − 1 − 1 = 5
Tabel
χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070
Jawaban
χ²crit = 11,070
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice