Soal latihan AP Statistics: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 39, 20, 21, 59, 12, 44, 22.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 62?

μ = 60σ = 5x = 62

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15

Var(X) =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,7, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 3 jawaban benar?

n = 6p = 0,7k = 3

P =

5.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 8 di antaranya melebihi 646,1 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 646,1 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 20% data (persentil ke-20).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 10?

n = 5ŷ = 10

x =

9.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 15 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 1,4 dan simpangan baku 6,9. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 15d̄ = 1,4s_d = 6,990%t(14) = 1,761

batas atas = mmHg

10.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 19. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?

σ = 19E = 390%

n =

11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 54 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54s = 15n = 81

t =

12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 126,2. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 126,2σ = 12n = 2590%

U =

13.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1202 × 2

χ² =

14.Uji chi-kuadratSulit

Uji independensi chi-kuadrat dilakukan pada tabel kontingensi dengan 2 baris dan 5 kolom (tidak termasuk total). Berapa derajat kebebasan df uji tersebut?

2 × 5

df =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,73

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 217/7 = 31

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 8² + (−11)² + (−10)² + 28² + (−19)² + 13² + (−9)² = 1680

Simpangan baku

s = √(1680/6) = 16,73

Jawaban

s = 16,73

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,6554

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Jawaban

P = 0,6554

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 4,35

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,5

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,6

Variansi

Var(X) = 10,6 − 2,5² = 4,35

Jawaban

Var(X) = 4,35

4.Peluang

Jawaban: P = 0,1852

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 3) = 20·0,7³·0,3³ = 20·0,343·0,027 = 0,1852

Jawaban

P = 0,1852

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33,94 kg

Standarkan

z = (646,1 − 680)/33,94 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 26,95 min

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Kembali ke x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Jawaban

x = 26,95 min

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,8517

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 333/6 = 55,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 225,5

Koefisien korelasi

r = 53,5/√(17,5·225,5) = 0,8517

Jawaban

r = 0,8517

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 5,034

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 57/5 = 11,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

Garis regresi

b = 58/40 = 1,45

a = 11,4 − 1,45·6 = 2,7

ŷ = 2,7 + 1,45·x

Selesaikan untuk x

x = (10 − 2,7)/1,45 = 5,034

Jawaban

x = 5,034

9.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 4,537 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 14, t = 1,761

Margin galat

E = 1,761·6,9/√15 = 3,137

Selang

1,4 ± 3,137 → [−1,737, 4,537]

Jawaban

batas atas = 4,537 mmHg

10.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 109

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·19/3)² = 108,5

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 109

Jawaban

n = 109

11.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,4

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Statistik uji

t = (54 − 50)/1,667 = 2,4

Jawaban

t = 2,4

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

12.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 130,1

Margin galat

E = 1,645·12/√25 = 3,948

Batas selang

U = 126,2 + 3,948 = 130,1

Jawaban

U = 130,1

13.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 2,4

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

pria: 40·60/120 = 20, 40·60/120 = 20

wanita: 80·60/120 = 40, 80·60/120 = 40

Statistik chi-kuadrat

χ² = (24 − 20)²/20 + (16 − 20)²/20 + (36 − 40)²/40 + (44 − 40)²/40

χ² = 2,4

Jawaban

χ² = 2,4

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) tidak ditolak.

14.Uji chi-kuadrat

Jawaban: df = 4

Derajat kebebasan

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Jawaban

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice