Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Soal latihan AP Statistics: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Uji chi-kuadrat
- Statistik uji
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uji kecocokan
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Independensi
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai kritis (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 60, 44, 35, 60, 20, 28, 26.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10. Tentukan skor z z untuk nilai 70.
μ = 50σ = 10x = 70
z =
3.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 2 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 2
P =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €4 dengan peluang 0,3 dan €40 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €2€4: p = 0,3€40: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 25,1 dan 35,3 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 35,3
P =
6.Distribusi normalSulit
Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
8.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 63?
n = 6ŷ = 63
x =
9.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 20 unit memiliki rata-rata 40,5 dan simpangan baku s = 12. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 20x̄ = 40,5s = 1295%t(19) = 2,093
batas atas =
10.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 26. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?
σ = 26E = 495%
n =
11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 6 siswa, rata-rata nilai 48,5, simpangan baku 9,5. Kelompok 2: 15 siswa, rata-rata nilai 32,5, simpangan baku 11,5. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 6x̄₁ = 48,5s₁ = 9,5n₂ = 15x̄₂ = 32,5s₂ = 11,5
t =
12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2,5 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 17. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,01kuasa = 80%δ = 2,5σ = 17zα = 2,326zβ = 0,842
n =
13.Uji chi-kuadratSedang
Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “staf, sepeda”.
total baris = 77total kolom = 53N = 165
E =
14.Uji chi-kuadratSulit
Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,05 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.
N = 1803 × 2α = 0,05
χ² =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 16,2
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 273/7 = 39
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 21² + 5² + (−4)² + 21² + (−19)² + (−11)² + (−13)² = 1574
Simpangan baku
s = √(1574/6) = 16,2
Jawaban
s = 16,2
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = 2
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (70 − 50)/10 = 2
Jawaban
z = 2
3.Peluang
Jawaban: P = 0,3056
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Jawaban
P = 0,3056
4.Peluang
Jawaban: E(G) = −0,4 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 2 (p = 0,3), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,69)
Nilai harapan
E(G) = 2·0,3 + 38·0,01 − 2·0,69 = −0,4 €
Jawaban
E(G) = −0,4 €
Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,5838
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55
Luas di antara
P = Φ(0,55) − Φ(−1,15) = 0,7088 − 0,1251 = 0,5838
Jawaban
P = 0,5838
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7389
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standarkan
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Peluang
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Jawaban
P = 0,7389
7.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,8643
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 61,5
Koefisien determinasi
r² = −30,5²/(17,5·61,5) = 0,8643
Jawaban
r² = 0,8643
Sekitar 86,43% variasi y dijelaskan oleh garis.
8.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 4,031
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 510/6 = 85
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 388
Garis regresi
b = 388/70 = 5,543
a = 85 − 5,543·8 = 40,66
ŷ = 40,66 + 5,543·x
Selesaikan untuk x
x = (63 − 40,66)/5,543 = 4,031
Jawaban
x = 4,031
9.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 46,12
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Margin galat
E = 2,093·12/√20 = 5,616
Selang
40,5 ± 5,616 → [34,88, 46,12]
Jawaban
batas atas = 46,12
10.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 163
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,96·26/4)² = 162,3
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 163
Jawaban
n = 163
11.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 3,009
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (5·9,5² + 14·11,5²)/19 = 121,2
sp = 11,01
Galat baku
SE = 11,01·√(1/6 + 1/15) = 5,318
Statistik uji
t = (48,5 − 32,5)/5,318 = 3,009
Jawaban
t = 3,009
Dengan df = 19, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,093; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
12.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 465
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2,326 + 0,842)·17/2,5)² = 464,1
Bulatkan ke atas
n = 465
Jawaban
n = 465
13.Uji chi-kuadrat
Jawaban: E = 24,73
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Frekuensi harapan
E = 77·53/165 = 24,73
Jawaban
E = 24,73
14.Uji chi-kuadrat
Jawaban: χ² = 35,56
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Frekuensi harapan
lini 1: 28, 12
lini 2: 56, 24
lini 3: 42, 18
Statistik chi-kuadrat
χ² = (28 − 28)²/28 + (12 − 12)²/12 + (72 − 56)²/56 + (8 − 24)²/24 + (26 − 42)²/42 + (34 − 18)²/18
χ² = 35,56
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5,991
35,56 > 5,991
Jawaban
χ² = 35,56
χ² di atas nilai kritis, sehingga H₀ ditolak: variabel-variabelnya tampak berhubungan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice