Soal latihan AP Statistics: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Uji chi-kuadrat

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
15202530354045505560

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 48, 58, 24, 60, 23, 14, 28.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 74,8.

μ = 70σ = 8x = 74,8
z =
3.PeluangSedang
xp(x)00,2510,220,330,25μ = 1,55

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25
σ =
4.PeluangSulit
xp(x)10,2520,2530,3540,15μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 10. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15Y = −2X + 10
σY =
5.Distribusi normalSedang
171185,35P = ?

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 171 dan 185,35 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 185,35
P =
6.Distribusi normalSulit
157164171178185192199cmbawah 20%

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 20% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
7.Regresi linear & korelasiSedang
xy233338441542646741xy246354045

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
8.Regresi linear & korelasiSulit
xy12322231641651469xy246101520x = 5,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5,5, 13) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 13)
e =
9.Selang kepercayaanSedang
n = 9, s = 1LU = ?x̄ = 34E95%

Sebuah sampel berisi 9 unit memiliki rata-rata 34 dan simpangan baku s = 1. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 9x̄ = 34s = 195%t(8) = 2,306
batas atas =
10.Selang kepercayaanSulit
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 490%

Simpangan baku populasi adalah 20. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?

σ = 20E = 490%
n =
11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,9901,99

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 51,6 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,6s = 12n = 81
t =
12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,9601,96

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 46,1. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 46,1σ = 15n = 6495%
L =
13.Uji chi-kuadratSedang
yatidakTotalpria3288120wanita32840Total6496160

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1602 × 2
χ² =
14.Uji chi-kuadratSulit
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Uji independensi chi-kuadrat dilakukan pada tabel kontingensi dengan 2 baris dan 6 kolom (tidak termasuk total). Dengan memakai tabel, cari nilai kritis χ²crit pada taraf signifikansi α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,55

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 255/7 = 36,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 11,57² + 21,57² + (−12,43)² + 23,57² + (−13,43)² + (−22,43)² + (−8,429)² = 2064

Simpangan baku

s = √(2064/6) = 18,55

Jawaban

s = 18,55
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,6

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (74,8 − 70)/8 = 0,6

Jawaban

z = 0,6
3.Peluang

Jawaban: σ = 1,117

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,25 = 1,55

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,25 = 3,65

Variansi

Var(X) = 3,65 − 1,55² = 1,247
σ = √1,247 = 1,117

Jawaban

σ = 1,117
4.Peluang

Jawaban: σY = 2,04

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 2,4, Var(X) = 1,04, σX = 1,02

Perubahan linear

σY = |−2|·1,02 = 2,04

Jawaban

σY = 2,04

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·2,4 + 10 = 5,2.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6945

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

Luas di antara

P = Φ(1,05) − Φ(−1) = 0,8531 − 0,1587 = 0,6945

Jawaban

P = 0,6945
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 172,1 cm

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,2

z dari tabel

z ≈ −0,84

Kembali ke satuan semula

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

Jawaban

x = 172,1 cm
7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,6365

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 241/6 = 40,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94,83

Koefisien determinasi

r² = 32,5²/(17,5·94,83) = 0,6365

Jawaban

r² = 0,6365

Sekitar 63,65% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 1,705

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 100/6 = 16,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47

Garis regresi

b = −47/17,5 = −2,686
a = 16,67 − (−2,686)·3,5 = 26,07
ŷ = 26,07 − 2,686·x

Nilai prediksi

ŷ = 26,07 + (−2,686)·5,5 = 11,3

Residu

e = 13 − 11,3 = 1,705

Jawaban

e = 1,705

Titik terletak di atas garis.

9.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 34,77

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Margin galat

E = 2,306·1/√9 = 0,7687

Selang

34 ± 0,7687 → [33,23, 34,77]

Jawaban

batas atas = 34,77
10.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 68

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·20/4)² = 67,65

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 68

Jawaban

n = 68
11.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Statistik uji

t = (51,6 − 50)/1,333 = 1,2

Jawaban

t = 1,2
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

12.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 42,43

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·15/√64 = 3,675

Batas selang

L = 46,1 − 3,675 = 42,43

Jawaban

L = 42,43
13.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 35,56

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

pria: 120·64/160 = 48, 120·96/160 = 72
wanita: 40·64/160 = 16, 40·96/160 = 24

Statistik chi-kuadrat

χ² = (32 − 48)²/48 + (88 − 72)²/72 + (32 − 16)²/16 + (8 − 24)²/24
χ² = 35,56

Jawaban

χ² = 35,56

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

14.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ²crit = 15,09

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Derajat kebebasan

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Tabel

χ²crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

Jawaban

χ²crit = 15,086

Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice