Soal latihan AP Statistics: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 14, 25, 16, 27, 22, 23, 37.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 62?

μ = 50σ = 8x = 62

P =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 8 orang? Urutan tidak penting.

n = 8k = 4

N =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 1. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,3Y = 5X + 1

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,0495. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,0495

z =

6.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 26?

n = 5ŷ = 26

x =

9.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 30 ponsel, rata-rata 53 h, simpangan baku diketahui 17 h. Model 2: 30 ponsel, rata-rata 63 h, simpangan baku diketahui 18 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 53 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 63 hσ₂ = 18 h99%

batas bawah = h

10.Selang kepercayaanSulit

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,04?

p = 0,5E = 0,0495%

n =

11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

8 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya −5,39 dan simpangan baku selisihnya 6,1. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = −5,39s_d = 6,1

t =

12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 500 melawan H₁: μ > 500 dilakukan pada α = 0,01 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 30. Kenyataannya, rata-ratanya 510,2. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.

μ₀ = 500μ = 510,2σ = 30n = 100α = 0,01

1 − β = %

13.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “staf, sepeda”.

total baris = 79total kolom = 48N = 139

E =

14.Uji chi-kuadratSulit

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,05 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 7,591

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 164/7 = 23,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−9,429)² + 1,571² + (−7,429)² + 3,571² + (−1,429)² + (−0,4286)² + 13,57² = 345,7

Simpangan baku

s = √(345,7/6) = 7,591

Jawaban

s = 7,591

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9332

Standarkan

z = 1,5

Tabel normal baku

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

3.Peluang

Jawaban: N = 70

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Jawaban

N = 70

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 49,69

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 27,5, Var(X) = 98,75, σ_X = 9,937

Perubahan linear

σ_Y = |5|·9,937 = 49,69

Jawaban

σ_Y = 49,69

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·27,5 + 1 = 138,5.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,65

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,0495 = 0,9505

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9505 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,65

Jawaban

z = 1,65

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 45,96 min

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Kembali ke x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Jawaban

x = 45,96 min

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9835

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 389/6 = 64,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 463,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1387

Koefisien determinasi

r² = 463,5²/(157,5·1387) = 0,9835

Jawaban

r² = 0,9835

Sekitar 98,35% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 1,467

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Garis regresi

b = −30/10 = −3

a = 21,4 − (−3)·3 = 30,4

ŷ = 30,4 − 3·x

Selesaikan untuk x

x = (26 − 30,4)/(−3) = 1,467

Jawaban

x = 1,467

9.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −21,64 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 53 − 63 = −10

Galat baku

SE = √(17²/30 + 18²/30) = 4,52

Margin galat

E = 2,576·4,52 = 11,64

Selang

−10 ± 11,64 → [−21,64, 1,644]

Jawaban

batas bawah = −21,64 h

Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

10.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 601

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2

Bulatkan ke atas

n = 601

Jawaban

n = 601

11.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,499

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 6,1/√8 = 2,157

Statistik uji

t = −5,39/2,157 = −2,499

Jawaban

t = −2,499

Dengan df = 7, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,365; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

12.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: 1 − β = 85,86 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 500 + 2,326·3 = 507

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (507 − 510,2)/3 = −1,074

Daya

kuasa = P(Z > −1,074) = 85,86%

1 − β = 85,86%

Jawaban

1 − β = 85,86%

13.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 27,28

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 79·48/139 = 27,28

Jawaban

E = 27,28

14.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 11,38

Frekuensi harapan

lini 1: 45, 15

lini 2: 30, 10

lini 3: 45, 15

Statistik chi-kuadrat

χ² = (53 − 45)²/45 + (7 − 15)²/15 + (30 − 30)²/30 + (10 − 10)²/10 + (37 − 45)²/45 + (23 − 15)²/15

χ² = 11,38

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 5,991

11,38 > 5,991

Jawaban

χ² = 11,38

χ² di atas nilai kritis, sehingga H₀ ditolak: variabel-variabelnya tampak berhubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice