Kalkulus 2: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Barisan & deret

Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

  1. Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
  2. Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
  3. Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  4. Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multivariabel

Turunan parsial
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradien
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Turunan berarah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Aturan rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Uji turunan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metode

  1. Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
  2. Untuk soal gradien hitung ∇f = (fx, fy) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
  3. Untuk ekstremum selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.IntegralSedang
xy1y = x·sin x

Hitung I = ∫₀1 x·sin x dx (x dalam radian).

∫₀1 x·sin x dx
I =
2.IntegralSulit
xy2y = x²eˣ

Hitung I = ∫₀2 x²·eˣ dx.

∫₀2 x²eˣ dx
I =
3.Barisan & deretSedang
k|aₖ₊₁/aₖ|123456789101112

Terapkan uji rasio pada Σk=1∞ (k!)²·3ᵏ/(2k)!. Carilah L = lim |ak+1/ak|.

ak = (k!)²·3ᵏ/(2k)!
L =
4.Barisan & deretSulit

f(x) = eˣ dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 2 pada x = −0,5. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₂|.

f(x) = eˣn = 2x = −0,5M = 1
|R₂| =
5.Kalkulus multivariabelSedang
xy20,5P

Bidang singgung z = x³e−y di titik tempat (x, y) = (2, 0,5) dapat ditulis sebagai z = px + qy + c. Carilah c.

f(x, y) = x³e−y(a, b) = (2, 0,5)
c =
6.Kalkulus multivariabelSulit
xyy = 1,5y = x1,51,5

Integral I = ∫01,5 ∫x1,5 sin(y²) dy dx tidak dapat dikerjakan dengan urutan ini. Balik urutan integrasi dan hitunglah.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
7.Persamaan diferensialSedang
t (min)T (°C)55Ta​103 °C

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 440 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 23 °C. Setelah 55 menit suhunya 103 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T0 = 440 °CTa = 23 °CT(55) = 103 °C
k = min⁻¹
8.Persamaan diferensialSulit
ty1,5y(1,5) = ?

Selesaikan y′ + 0,5y = 10e−2t dengan y(0) = 2. Cari y(1,5).

y′ + 0,5y = 10e−2ty(0) = 2
y(1.5) =

3Larutan

1.Integral

Jawaban: I = 0,3012

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Antiturunan

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limit

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Jawaban

I = 0,3012
2.Integral

Jawaban: I = 12,78

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Jawaban

I = 12,78
3.Barisan & deret

Jawaban: L = 0,75

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Rasio suku-suku berurutan

|ak+1/ak| = 3·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 3/4

Kesimpulan

L = 0,75 < 1

Jawaban

L = 0,75

L < 1, jadi deret konvergen.

4.Barisan & deret

Jawaban: |R₂| = 0,02083

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Batas turunan

M = 1

Batas Lagrange

|R₂| ≤ 1·0,5³/3! = 0,02083

Jawaban

|R₂| = 0,02083

Galat sebenarnya lebih kecil: |f(−0,5) − P₂(−0,5)| = 0,01847.

5.Kalkulus multivariabel

Jawaban: c = −7,278

Gradien: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah Duf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Nilai dan kemiringan di titik itu

f(2, 0,5) = 4,852
fx = 3x²e−y → fx(2, 0,5) = 7,278
fy = −x³e−y → fy(2, 0,5) = −4,852

Bidang singgung

z = 4,852 + 7,278(x − 2) − 4,852(y − 0,5)
z = 7,278x − 4,852y − 7,278

Suku konstanta

c = −7,278

Jawaban

c = −7,278
6.Kalkulus multivariabel

Jawaban: I = 0,8141

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki fx = fy = 0. Uji turunan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan fxx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Daerah

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1,5

Urutan terbalik

I = ∫01,5 ∫0y sin(y²) dx dy = ∫01,5 y·sin(y²) dy

Substitusi u = y²

I = [−cos(y²)/2]01,5 = 0,8141

Jawaban

I = 0,8141
7.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,03002 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e−55k = 80/417

Selesaikan untuk k

k = ln(417/80)/55 = 0,03002 min⁻¹

Jawaban

k = 0,03002 min⁻¹
8.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 3,762

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = e0,5t
(e0,5ty)′ = 10e−1,5t

Penyelesaian umum

y = 10/(−1,5)·e−2t + C·e−0,5t = −6,667·e−2t + C·e−0,5t

Kondisi awal

2 = −6,667 + C → C = 8,667

Hitung nilainya

y(1,5) = −6,667·0,04979 + 8,667·0,4724 = 3,762

Jawaban

y(1,5) = 3,762

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2