Sebuah anuitas membayar €8 000 di akhir setiap tahun selama 19 tahun. Suku bunganya 4% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.
A = €8 000i = 4%n = 19
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Pinjaman sebesar €15 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 3 tahun. Suku bunganya 6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.
P = €15 0006% / 12N = 36
A = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah proyek berbiaya €40 000 hari ini dan menghasilkan €15 000, €17 000, €15 500, €14 500, €10 000 di akhir tahun 1 sampai 5. Biaya modalnya 12%. Anggap arus kas masuk merata sepanjang setiap tahun. Tentukan periode pengembalian terdiskonto DPB dalam tahun.
Sebuah proyek berbiaya €20 000 dan menghasilkan €14 000, €8 500, €8 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 8 500CF3 = 8 000
IRR = %
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Anda membeli obligasi dengan sisa jatuh tempo 7 tahun (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 5%) saat imbal hasil hingga jatuh temponya 3,5%. Satu tahun kemudian, tepat setelah menerima kupon pertama, Anda menjualnya saat imbal hasil hingga jatuh temponya 3%. Tentukan imbal hasil periode kepemilikan HPR dalam persen.
F = €1 000kupon = 5%n = 7y0 = 3,5%y1 = 3%
HPR = %
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan sisa jatuh tempo 16 tahun (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 8%) dijual seharga €1 262. Penerbit dapat menariknya (call) dalam 5 tahun dengan harga call €1 080. Tentukan imbal hasil hingga call YTC dalam persen.
F = €1 000kupon = 8%P = €1 262harga call = €1 080call dalam 5 tahun
YTC = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah saham dengan beta 2 memiliki imbal hasil yang disyaratkan 14,5%. Suku bunga bebas risiko 1,5%. Berapa imbal hasil pasar yang diharapkan rm menurut CAPM?
β = 2re = 14,5%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM & WACCSulit
Sebuah perusahaan memiliki 1 000 000 lembar saham seharga €60,00 per lembar dan 20 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €960 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 4,5% dan tarif pajak 20%. Beta sahamnya 0,8, tingkat bebas risiko 1%, dan imbal hasil pasar 8%. Tentukan WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 8%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 36, 42, 27, 48, 46, 16.
n = 6
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 182.
μ = 170σ = 20x = 182
z =
11.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,25, 0,1, 0,3
σ =
12.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 1 jawaban benar?
n = 10p = 0,25k = 1
P =
13.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,3401. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,3401
z =
14.Distribusi normalSulit
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 80% data (persentil ke-80).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 7 unit memiliki rata-rata 18,5 dan simpangan baku s = 18,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 7x̄ = 18,5s = 18,595%t(6) = 2,447
batas bawah =
16.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 11. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?
σ = 11E = 390%
n =
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 72,2 dan simpangan baku sampel 20. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,2s = 20n = 100
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 200 melawan H₁: μ < 200 dilakukan pada α = 0.10 dengan sampel berukuran 25; simpangan bakunya diketahui 7.5. Kenyataannya, rata-ratanya 196.25. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.
μ₀ = 200μ = 196,25σ = 7,5n = 25α = 0,10
1 − β = %
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 5
r² =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 78?
n = 5ŷ = 78
x =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 105072 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4746)/0,04 = 13,13
Nilai sekarang
PV = 8 000·13,13 = €105 071,52
Jawaban
PV = €105 071,52
2.Nilai waktu uang
Jawaban: A = 456,3 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Angsuran
Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.
(1 + i)−N = 0,8356
A = 15 000·0,005/(1 − 0,8356) = €456,33
Jawaban
A = €456,33
3.NPV & IRR
Jawaban: DPB = 3,219 tahun
Periode pengembalian (payback period): waktu sampai arus kas kumulatif mengembalikan investasi awal. Kas dianggap masuk merata selama setiap tahun, jadi bagian terakhirnya berupa pecahan tahun. Payback sederhana mengabaikan nilai waktu uang; periode pengembalian terdiskonto memakai arus kas yang telah didiskontokan.
Arus kas terdiskonto dan kumulatif
tahun 1: 15 000/1,12 = 13 392,86 → Σ = 13 392,86
tahun 2: 17 000/1,254 = 13 552,30 → Σ = 26 945,15
tahun 3: 15 500/1,405 = 11 032,59 → Σ = 37 977,75
tahun 4: 14 500/1,574 = 9 215,01 → Σ = 47 192,76
Pecahan tahun terakhir
DPB = 3 + 2 022,25/9 215,01 = 3,219
Jawaban
DPB = 3,219 tahun
Periode pengembalian terdiskonto selalu lebih lama daripada periode pengembalian sederhana (2,516 tahun).
4.NPV & IRR
Jawaban: IRR = 27,77 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Apit IRR dari dua sisi
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
NPV(25%) = 736,00
NPV(30%) = −559,85
Persempit
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
IRR ≈ 25 + 5·736,00/(736,00 − (−559,85)) = 27,84%
tepat: NPV(27,77%) = 0 → IRR = 27,77%
Jawaban
IRR = 27,77%
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: HPR = 6,103 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
1262 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Selesaikan secara numerik
y = 3%: €1 297,99
y = 4%: €1 243,83
YTC = 3,658%
Jawaban
YTC = 3,658%
Imbal hasil hingga jatuh temponya 5,496%. Investor obligasi premium memperkirakan obligasi itu akan ditarik, jadi imbal hasil hingga call yang lebih rendah adalah yang lebih realistis.
7.CAPM & WACC
Jawaban: rm = 8 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Premi risiko pasar
rm − rf = (14,5% − 1,5%)/2 = 6,5%
Imbal hasil pasar
rm = 1,5% + 6,5% = 8%
Jawaban
rm = 8%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 5,873 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (182 − 170)/20 = 0,6
Jawaban
z = 0,6
11.Peluang
Jawaban: σ = 1,308
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0,3401)/2 = 0,6700
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,6700 di dalam tabel dan baca z.
z = 0,44
Jawaban
z = 0,44
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 254,2 g
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Kembali ke x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Jawaban
x = 254,21 g
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 1,39
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Margin galat
E = 2,447·18,5/√7 = 17,11
Selang
18,5 ± 17,11 → [1,39, 35,61]
Jawaban
batas bawah = 1,39
16.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 37
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·11/3)² = 36,38
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 37
Jawaban
n = 37
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −1,4
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Statistik uji
t = (72,2 − 75)/2 = −1,4
Jawaban
t = −1,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: 1 − β = 88,84 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 200 − 1,282·1,5 = 198,1
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (198,1 − 196,25)/1,5 = 1,218
Daya
kuasa = P(Z < 1.218) = 88.84%
1 − β = 88,84%
Jawaban
1 − β = 88,84%
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9633
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 379/5 = 75,8
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1701
Koefisien determinasi
r² = 384²/(90·1701) = 0,9633
Jawaban
r² = 0,9633
Sekitar 96,33% variasi y dijelaskan oleh garis.
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 22,12
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.