Anda butuh €5 000 dalam 5 tahun. Sebuah rekening memberi 3,6% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.
FV = €5 0003,6% / 4n = 5
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda ingin memiliki €10 000 dalam 17 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 4,8% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.
FV = €10 0004,8% / 12N = 204
A = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah proyek berbiaya €100 000 hari ini. Proyek menghasilkan €7 000 di akhir tahun pertama, lalu arus kasnya tumbuh 2% per tahun selamanya. Biaya modalnya 11%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €100 000CF1 = €7 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.NPV & IRRSulit
Sebuah proyek berbiaya €100 000 hari ini. Arus kasnya €15 500 di akhir tahun 1 dan tumbuh 5% per tahun sampai arus kas terakhir di akhir tahun ke-7. Biaya modalnya 8%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €100 000CF1 = €15 500g = 5%n = 7r = 8%
NPV = €
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Anda membeli obligasi dengan sisa jatuh tempo 11 tahun (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 6%) saat imbal hasil hingga jatuh temponya 8%. Satu tahun kemudian, tepat setelah menerima kupon pertama, Anda menjualnya saat imbal hasil hingga jatuh temponya 9%. Tentukan imbal hasil periode kepemilikan HPR dalam persen.
F = €1 000kupon = 6%n = 11y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 8% jatuh tempo dalam 5 tahun dan dijual seharga €925. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 8%n = 5P = €925
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €6 000 000 dan utang senilai €6 000 000. Biaya ekuitasnya 11%, biaya utang sebelum pajaknya 6%, dan tarif pajaknya 25%. Tentukan WACC.
Saham sebuah perusahaan memiliki beta 1,3 pada rasio utang terhadap ekuitas saat ini 0,2. Perusahaan berencana menaikkan rasio utang terhadap ekuitas menjadi 0,6. Tarif pajaknya 25,8%, suku bunga bebas risiko 1%, dan premi risiko pasar 4%. Tentukan biaya ekuitas re setelah perubahan.
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 44, 48, 55, 43, 35.
n = 5
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 60. Berapa proporsi P nilai di bawah 380?
μ = 500σ = 60x = 380
P =
11.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 13 orang? Urutan tidak penting.
n = 13k = 3
N =
12.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €1 untuk dimainkan. Anda memenangkan €4 dengan peluang 0,25 dan €50 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €1€4: p = 0,25€50: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribusi normalSedang
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 100 dan 107,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 107,5
P =
14.Distribusi normalSulit
skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 95% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 100 poinσ = 15 poin95%
x = poin
15.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 80 ponsel, rata-rata 128 h, simpangan baku diketahui 16 h. Model 2: 80 ponsel, rata-rata 115 h, simpangan baku diketahui 13 h. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.
Simpangan baku populasi adalah 11. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?
σ = 11E = 599%
n =
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 46,53 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,53s = 8n = 36
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 7. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,05kuasa = 95%δ = 2σ = 7zα = 1,645zβ = 1,645
n =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 4180 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga dan jumlah periode
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·5 = 20
Nilai sekarang
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,196 = €4 179,72
Jawaban
PV = €4 179,72
2.Nilai waktu uang
Jawaban: A = 31,8 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai arus kas
PV = 7 000/(0,11 − 0,02) = 77 777,78
NPV
NPV = 77 777,78 − 100 000 = −€22 222,22
Jawaban
NPV = −€22 222,22
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: NPV = −7532 €
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang anuitas bertumbuh
((1,05)/(1,08))7 = 0,821
PV = 15 500/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,821) = 92 468,05
NPV
NPV = 92 468,05 − 100 000 = −€7 531,95
Jawaban
NPV = −€7 531,95
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: HPR = 1,196 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€925 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Selesaikan secara numerik
P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18
YTM = 9,977%
Jawaban
YTM = 9,977%
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 7,75 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·6%·(1 − 0,25) = 7,75%
Jawaban
WACC = 7,75%
8.CAPM & WACC
Jawaban: re = 7,544 %
Beta berleverage (Hamada): utang membuat ekuitas lebih berisiko. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dengan βU beta usaha tanpa utang. Untuk memindahkan beta ke struktur modal lain, hilangkan dulu leverage-nya (unlever), lalu terapkan kembali (relever) pada D/E yang baru.
Hilangkan leverage dari beta
βU = 1,3/(1 + 0,742·0,2) = 1,132
Terapkan kembali leverage pada D/E baru
βL = 1,132·(1 + 0,742·0,6) = 1,636
Biaya ekuitas (CAPM)
re = 1% + 1,636·4% = 7,544%
Jawaban
re = 7,544%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 7,314
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −2
Tabel normal baku
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
11.Peluang
Jawaban: N = 286
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286
Jawaban
N = 286
12.Peluang
Jawaban: E(G) = 1 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 3 (p = 0,25), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)
Nilai harapan
E(G) = 3·0,25 + 49·0,02 − 1·0,73 = 1 €
Jawaban
E(G) = 1 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,1915
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5
Luas di antara
P = Φ(0,5) − Φ(0) = 0,6915 − 0,5 = 0,1915
Jawaban
P = 0,1915
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 75,4 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,05
z dari tabel
z ≈ −1,64
Kembali ke satuan semula
x = 100 − 1,64·15 = 75,4 poin
Jawaban
x = 75,4 poin
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 18,94 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 128 − 115 = 13
Galat baku
SE = √(16²/80 + 13²/80) = 2,305
Margin galat
E = 2,576·2,305 = 5,937
Selang
13 ± 5,937 → [7,063, 18,94]
Jawaban
batas atas = 18,94 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
16.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 33
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2,576·11/5)² = 32,12
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 33
Jawaban
n = 33
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −2,602
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Statistik uji
t = (46,53 − 50)/1,333 = −2,602
Jawaban
t = −2,602
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 133
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1,645 + 1,645)·7/2)² = 132,6
Bulatkan ke atas
n = 133
Jawaban
n = 133
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9726
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 227/6 = 37,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 192,8
Koefisien korelasi
r = 56,5/√(17,5·192,8) = 0,9726
Jawaban
r = 0,9726
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 16,74
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.