Sebuah anuitas membayar €8 000 di akhir setiap tahun selama 4 tahun. Suku bunganya 8% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.
A = €8 000i = 8%n = 4
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda menabung €150 di akhir setiap bulan selama 22 tahun. Rekening memberi 4,2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa tabungan Anda di akhir? Tentukan FV.
A = €1504,2% / 12N = 264
FV = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah mesin berharga €80 000 hari ini, bertahan 9 tahun, dan biaya operasinya €2 000 per tahun (dibayar di akhir setiap tahun). Biaya modalnya 12%. Tentukan biaya tahunan ekuivalennya EAC.
C0 = €80 000M = €2 000n = 9r = 12%
EAC = €
4.NPV & IRRSulit
Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €11 500, €13 000, €9 500, €13 000 di akhir tahun 1 sampai 4. Arus kas dapat diinvestasikan kembali pada biaya modal 10%. Tentukan tingkat pengembalian internal termodifikasi MIRR dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 2% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 6 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 2,5% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 2%YTM = 2,5%n = 6
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 6% jatuh tempo dalam 8 tahun dan dijual seharga €910. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 6%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €6 000 000 dan utang senilai €5 000 000. WACC-nya 6,18%, biaya utang sebelum pajaknya 4%, dan tarif pajaknya 30%. Tentukan biaya ekuitas re.
Sebuah perusahaan memiliki 4 000 000 lembar saham seharga €29,50 per lembar dan 40 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €1 050 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 3% dan tarif pajak 30%. Beta sahamnya 0,9, tingkat bebas risiko 2%, dan imbal hasil pasar 7,5%. Tentukan WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 7,5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 37, 57, 38, 52, 42, 34.
n = 6
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 25. Berapa proporsi P nilai di atas 515?
μ = 500σ = 25x = 515
P =
11.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
12.PeluangSulit
6 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 6p = 0,6
P =
13.Distribusi normalSedang
Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 30,5 dan 35,3 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 32σ = 6x1 = 30,5x2 = 35,3
P =
14.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,04 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 25 unit memiliki rata-rata 111,5 dan simpangan baku s = 11,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 25x̄ = 111,5s = 11,595%t(24) = 2,064
batas bawah =
16.Selang kepercayaanSulit
Diameter 20 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 0,8 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 19, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 8,907 dan 2,5% berada di atas 32,852.
n = 20s = 0,8 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 8 siswa, rata-rata nilai 116, simpangan baku 11. Kelompok 2: 9 siswa, rata-rata nilai 113,7, simpangan baku 2,5. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 8x̄₁ = 116s₁ = 11n₂ = 9x̄₂ = 113,7s₂ = 2,5
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 100 melawan H₁: μ < 100 dilakukan pada α = 0.10 dengan sampel berukuran 25; simpangan bakunya diketahui 15. Kenyataannya, rata-ratanya 96.7. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.
μ₀ = 100μ = 96,7σ = 15n = 25α = 0,10
β = %
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (4,5, 75) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 75)
e =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 26497 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,735)/0,08 = 3,312
Nilai sekarang
PV = 8 000·3,312 = €26 497,01
Jawaban
PV = €26 497,01
2.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 64941 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Biaya tahunan ekuivalen: sebarkan nilai sekarang semua biaya selama umur pakai sebagai jumlah tahunan yang sama (anuitas): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Dengan ini mesin-mesin dengan umur berbeda dapat dibandingkan.
Faktor anuitas
(1 − 1,12−9)/0,12 = 5,328
Harga beli yang ditahunkan
80 000/5,328 = 15 014,31
EAC
EAC = 15 014,31 + 2 000 = €17 014,31
Jawaban
EAC = €17 014,31
4.NPV & IRR
Jawaban: MIRR = 21,5 %
IRR termodifikasi: majemukkan setiap arus masuk ke depan sampai akhir proyek pada tingkat reinvestasi (biasanya biaya modal) untuk mendapatkan nilai akhir TV. MIRR adalah tingkat yang mengubah investasi awal menjadi TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Nilai akhir arus masuk
11 500·1,13 = 15 306,50
13 000·1,12 = 15 730,00
9 500·1,11 = 10 450,00
13 000·1,10 = 13 000,00
TV = 54 486,50
MIRR
MIRR = (54 486,50/25 000)1/4 − 1 = 21,5%
Jawaban
MIRR = 21,5%
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 972,3 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €10,00, i = 0,0125, N = 12
Nilai sekarang kupon
€10,00·(1 − 0,8615)/0,0125 = €110,79
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,8615 = €861,51
Harga
P = €972,30
Jawaban
P = €972,30
Imbal hasil di atas tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan diskon.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: YTM = 7,539 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Selesaikan secara numerik
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,539%
Jawaban
YTM = 7,539%
7.CAPM & WACC
Jawaban: re = 8,997 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
Bagian utang dalam WACC
0,4545·4%·(1 − 0,3) = 1,273%
Biaya ekuitas
re = (6,18% − 1,273%)/0,5455 = 8,997%
Jawaban
re = 8,997%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 5,677 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 0,6
Tabel normal baku
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Jawaban
P = 0,2743
11.Peluang
Jawaban: σ = 0,8047
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variansi
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Jawaban
σ = 0,8047
12.Peluang
Jawaban: P = 0,04096
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,46 = 0,004096
P(X = 1) = 6·0,6·0,45 = 0,03686
Jumlahkan
P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096
Jawaban
P = 0,04096
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,3075
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25
z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55
Luas di antara
P = Φ(0,55) − Φ(−0,25) = 0,7088 − 0,4013 = 0,3075
Jawaban
P = 0,3075
14.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9452
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standarkan
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Peluang
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Jawaban
P = 0,9452
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 106,8
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margin galat
E = 2,064·11,5/√25 = 4,747
Selang
111,5 ± 4,747 → [106,8, 116,2]
Jawaban
batas bawah = 106,8
16.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 0,6084 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 19·0,8² = 12,16
Batas untuk σ²
12,16/32,852 = 0,3701
12,16/8,907 = 1,365
Batas untuk σ
σ = √0,3701 = 0,6084 µm
Jawaban
σ = 0,6084 µm
Selang 95% untuk σ: [0,6084, 1,168] µm.
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 0,6121
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (7·11² + 8·2,5²)/15 = 59,8
sp = 7,733
Galat baku
SE = 7,733·√(1/8 + 1/9) = 3,758
Statistik uji
t = (116 − 113,7)/3,758 = 0,6121
Jawaban
t = 0,6121
Dengan df = 15, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,131; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: β = 57,22 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 100 − 1,282·3 = 96,15
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (96,15 − 96,7)/3 = −0,182
Galat tipe II
kuasa = P(Z < −0.182) = 42.78%
β = 100% − 42,78% = 57,22%
Jawaban
β = 57,22%
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9974
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 105/6 = 17,5
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 141
Syy = Σ(y − ȳ)² = 285,5
Koefisien korelasi
r = 141/√(70·285,5) = 0,9974
Jawaban
r = 0,9974
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −3,35
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 372/5 = 74,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79
Garis regresi
b = 79/10 = 7,9
a = 74,4 − 7,9·4 = 42,8
ŷ = 42,8 + 7,9·x
Nilai prediksi
ŷ = 42,8 + 7,9·4,5 = 78,35
Residu
e = 75 − 78,35 = −3,35
Jawaban
e = −3,35
Titik terletak di bawah garis.
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.