Anda butuh €25 000 dalam 8 tahun. Sebuah rekening memberi 4,8% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.
FV = €25 0004,8% / 12n = 8
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda ingin memiliki €25 000 dalam 12 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 4,8% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.
FV = €25 0004,8% / 12N = 144
A = €
3.NPV & IRRSedang
Investasi sebesar €45 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €20 000, €22 000, €17 000, €21 000. Biaya modal 5%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
Proyek A berbiaya €10 000 dan menghasilkan €5 500, €4 000, €2 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €20 000 dan menghasilkan €5 000, €8 000, €10 500. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 8% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 12 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 5% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 8%YTM = 5%n = 12
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 3% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 4 tahun. Obligasi dijual seharga €802. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM sebagai tingkat tahunan (dua kali imbal hasil semesteran), dalam persen.
F = €1 000kupon = 3% (2×)n = 4P = €802
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €2 000 000 dan utang senilai €4 000 000. Biaya ekuitasnya 11%, biaya utang sebelum pajaknya 6%, dan tarif pajaknya 30%. Tentukan WACC.
Usaha sebuah perusahaan memiliki beta tanpa leverage (beta aset) 0,7. Perusahaan merencanakan rasio utang terhadap ekuitas 0,4. Tarif pajaknya 20%, suku bunga bebas risiko 4%, dan premi risiko pasar 6,5%. Tentukan biaya ekuitas re pada struktur modal yang baru.
βU = 0,7D/E = 0,4T = 20%rf = 4%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 38, 57, 43, 52, 53, 28, 19.
n = 7
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di bawah 90?
μ = 50σ = 20x = 90
P =
11.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 3 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 3
P =
12.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X − 3. Cari simpangan baku σY dari Y.
Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,8611. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,8611
z =
14.Distribusi normalSulit
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 97,5% data (persentil ke-97,5).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = poin
15.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 80 ponsel, rata-rata 127,5 h, simpangan baku diketahui 7 h. Model 2: 60 ponsel, rata-rata 135,5 h, simpangan baku diketahui 19 h. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
Diameter 20 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 5,1 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 19, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 8,907 dan 2,5% berada di atas 32,852.
n = 20s = 5,1 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 80; simpangan baku populasinya diketahui 12. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 81,64. Uji H₀: μ = 80 melawan H₁: μ ≠ 80. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 80σ = 12n = 36x̄ = 81,64H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 3 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 7. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,01kuasa = 90%δ = 3σ = 7zα = 2,326zβ = 1,282
n =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 16,5.
n = 5x = 16,5
ŷ =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 17041 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga dan jumlah periode
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·8 = 96
Nilai sekarang
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,467 = €17 041,33
Jawaban
PV = €17 041,33
2.Nilai waktu uang
Jawaban: A = 128,7 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang setiap arus kas
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 20 000/1,05 = 19 047,62
CF2/(1 + 0,05)2 = 22 000/1,103 = 19 954,65
CF3/(1 + 0,05)3 = 17 000/1,158 = 14 685,24
CF4/(1 + 0,05)4 = 21 000/1,216 = 17 276,75
Jumlahkan
NPV = €25 964,26
Jawaban
NPV = €25 964,26
NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 5,24 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −20 000 − (−10 000) = −10 000
ΔCF1 = 5 000 − 5 500 = −500
ΔCF2 = 8 000 − 4 000 = 4 000
ΔCF3 = 10 500 − 2 500 = 8 000
IRR selisih
NPVΔ(5%) = 62,63
NPVΔ(6%) = −194,76
r* = 5,24%
Jawaban
r* = 5,24%
Periksa: pada 5,24% kedua NPV bernilai €982,58.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 1268 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €40,00, i = 0,025, N = 24
Nilai sekarang kupon
€40,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €715,40
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,5529 = €552,88
Harga
P = €1 268,27
Jawaban
P = €1 268,27
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: YTM = 9,004 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €15,00, N = 8
Selesaikan secara numerik
i = 4,502% per semester
YTM
YTM = 2·4,502% = 9,004%
Jawaban
YTM = 9,004%
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 6,467 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·11% + 0,6667·6%·(1 − 0,3) = 6,467%
Jawaban
WACC = 6,467%
8.CAPM & WACC
Jawaban: re = 10,01 %
Beta berleverage (Hamada): utang membuat ekuitas lebih berisiko. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dengan βU beta usaha tanpa utang. Untuk memindahkan beta ke struktur modal lain, hilangkan dulu leverage-nya (unlever), lalu terapkan kembali (relever) pada D/E yang baru.
Beta berleverage
βL = 0,7·(1 + 0,8·0,4) = 0,924
Biaya ekuitas (CAPM)
re = 4% + 0,924·6,5% = 10,01%
Jawaban
re = 10,01%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 14,06
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 2
Tabel normal baku
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Jawaban
P = 0,9772
11.Peluang
Jawaban: P = 0,4213
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Jawaban
P = 0,4213
12.Peluang
Jawaban: σY = 2,793
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 1,5, Var(X) = 1,95, σX = 1,396
Perubahan linear
σY = |−2|·1,396 = 2,793
Jawaban
σY = 2,793
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·1,5 − 3 = −6.
13.Distribusi normal
Jawaban: z = 1,48
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0,8611)/2 = 0,9306
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,9306 di dalam tabel dan baca z.
z = 1,48
Jawaban
z = 1,48
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 129,4 poin
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Kembali ke x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 poin
Jawaban
x = 129,4 poin
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = −2,954 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 127,5 − 135,5 = −8
Galat baku
SE = √(7²/80 + 19²/60) = 2,575
Margin galat
E = 1,96·2,575 = 5,046
Selang
−8 ± 5,046 → [−13,05, −2,954]
Jawaban
batas atas = −2,954 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
16.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 7,449 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 19·5,1² = 494,2
Batas untuk σ²
494,2/32,852 = 15,04
494,2/8,907 = 55,48
Batas untuk σ
σ = √55,48 = 7,449 µm
Jawaban
σ = 7,449 µm
Selang 95% untuk σ: [3,879, 7,449] µm.
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,4122
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 12/√36 = 2
z = (81,64 − 80)/2 = 0,82
Luas ekor
Φ(0,82) = 0,7939
1 − Φ(0,82) = 0,2061
nilai p
p = 2·0,2061 = 0,4122
Jawaban
p = 0,4122
p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 71
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2,326 + 1,282)·7/3)² = 70,87
Bulatkan ke atas
n = 71
Jawaban
n = 71
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,8922
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 370/6 = 61,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 209,3
Koefisien korelasi
r = 54/√(17,5·209,3) = 0,8922
Jawaban
r = 0,8922
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 70,3
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 470/5 = 94
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 474
Garis regresi
b = 474/90 = 5,267
a = 94 − 5,267·21 = −16,6
ŷ = −16,6 + 5,267·x
Prediksi
ŷ = −16,6 + 5,267·16,5 = 70,3
Jawaban
ŷ = 70,3
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.