Anda butuh €15 000 dalam 7 tahun. Sebuah rekening memberi 6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.
FV = €15 0006% / 12n = 7
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda menyetor €5 000 di awal setiap tahun selama 5 tahun, setoran pertama hari ini. Rekening memberi bunga 7% per tahun. Berapa saldo rekening di akhir tahun ke-5? Tentukan FV.
A = €5 000i = 7%n = 5
FV = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah proyek berbiaya €60 000 hari ini dan menghasilkan €15 000, €17 500, €25 000, €20 000, €25 000, €12 500 di akhir tahun 1 sampai 6. Biaya modalnya 12%. Anggap arus kas masuk merata sepanjang setiap tahun. Tentukan periode pengembalian terdiskonto DPB dalam tahun.
Proyek A berbiaya €30 000 dan menghasilkan €17 000, €12 000, €7 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €40 000 dan menghasilkan €13 000, €15 500, €20 500. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 4% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 9 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 3,5% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 4%YTM = 3,5%n = 9
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan sisa jatuh tempo 12 tahun (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 5%) dijual seharga €1 145. Penerbit dapat menariknya (call) dalam 3 tahun dengan harga call €1 050. Tentukan imbal hasil hingga call YTC dalam persen.
F = €1 000kupon = 5%P = €1 145harga call = €1 050call dalam 3 tahun
YTC = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki rasio utang terhadap ekuitas (pada nilai pasar) 1,5. Biaya ekuitasnya 11%, biaya utang sebelum pajaknya 4,5%, dan tarif pajaknya 20%. Tentukan WACC.
D/E = 1,5re = 11%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM & WACCSulit
Sebuah perusahaan memiliki 2 000 000 lembar saham seharga €14,50 per lembar dan 5 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €980 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 3% dan tarif pajak 25%. Beta sahamnya 0,6, tingkat bebas risiko 4%, dan imbal hasil pasar 10%. Tentukan WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 10%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 40, 10, 43, 22, 45.
n = 5
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 70.
μ = 60σ = 8x = 70
z =
11.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2
σ =
12.PeluangSulit
10 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,3. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 10p = 0,3
P =
13.Distribusi normalSedang
Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya melebihi 484,2 g. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 484,2 g
P =
14.Distribusi normalSulit
berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 5% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 102,5 dan simpangan baku s = 10,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 21x̄ = 102,5s = 10,595%t(20) = 2,086
E =
16.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 15. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?
σ = 15E = 195%
n =
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 117,6 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,6s = 8n = 36
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5? Simpangan bakunya 8. Tentukan ukuran sampel terkecil n.
σ = 8E = 0,595%
n =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 6Σx = 21Σy = 351Σx² = 91Σy² = 21017Σxy = 1315
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (2,5, 22) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 22)
e =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 9866 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga dan jumlah periode
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·7 = 84
Nilai sekarang
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,52 = €9 866,02
Jawaban
PV = €9 866,02
2.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 30766 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas biasa
((1 + 0,07)5 − 1)/0,07 = 5,751
Anuitas di muka
Setiap setoran diinvestasikan satu tahun lebih lama.
FV = 5 000·5,751·1,07 = €30 766,45
Jawaban
FV = €30 766,45
3.NPV & IRR
Jawaban: DPB = 4,152 tahun
Periode pengembalian (payback period): waktu sampai arus kas kumulatif mengembalikan investasi awal. Kas dianggap masuk merata selama setiap tahun, jadi bagian terakhirnya berupa pecahan tahun. Payback sederhana mengabaikan nilai waktu uang; periode pengembalian terdiskonto memakai arus kas yang telah didiskontokan.
Arus kas terdiskonto dan kumulatif
tahun 1: 15 000/1,12 = 13 392,86 → Σ = 13 392,86
tahun 2: 17 500/1,254 = 13 950,89 → Σ = 27 343,75
tahun 3: 25 000/1,405 = 17 794,51 → Σ = 45 138,26
tahun 4: 20 000/1,574 = 12 710,36 → Σ = 57 848,62
tahun 5: 25 000/1,762 = 14 185,67 → Σ = 72 034,29
Pecahan tahun terakhir
DPB = 4 + 2 151,38/14 185,67 = 4,152
Jawaban
DPB = 4,152 tahun
Periode pengembalian terdiskonto selalu lebih lama daripada periode pengembalian sederhana (3,125 tahun).
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 8,043 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 13 000 − 17 000 = −4 000
ΔCF2 = 15 500 − 12 000 = 3 500
ΔCF3 = 20 500 − 7 000 = 13 500
IRR selisih
NPVΔ(8%) = 13,72
NPVΔ(9%) = −299,37
r* = 8,043%
Jawaban
r* = 8,043%
Periksa: pada 8,043% kedua NPV bernilai €1 564,53.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 1038 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €20,00, i = 0,0175, N = 18
Nilai sekarang kupon
€20,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €306,54
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,7318 = €731,78
Harga
P = €1 038,32
Jawaban
P = €1 038,32
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: YTC = 1,646 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
1145 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Selesaikan secara numerik
y = 1%: €1 166,17
y = 2%: €1 133,63
YTC = 1,646%
Jawaban
YTC = 1,646%
Imbal hasil hingga jatuh temponya 3,5%. Investor obligasi premium memperkirakan obligasi itu akan ditarik, jadi imbal hasil hingga call yang lebih rendah adalah yang lebih realistis.
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 6,56 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot dari D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·4,5%·(1 − 0,2) = 6,56%
Jawaban
WACC = 6,56%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 6,827 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (70 − 60)/8 = 1,25
Jawaban
z = 1,25
11.Peluang
Jawaban: σ = 1,117
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,2 = 2,45
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,2 = 7,25
Variansi
Var(X) = 7,25 − 2,45² = 1,247
σ = √1,247 = 1,117
Jawaban
σ = 1,117
12.Peluang
Jawaban: P = 0,1493
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,710 = 0,02825
P(X = 1) = 10·0,3·0,79 = 0,1211
Jumlahkan
P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493
Jawaban
P = 0,1493
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,1562
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 480 g, σT = 1,2·√12 = 4,157 g
Standarkan
z = (484,2 − 480)/4,157 = 1,01
Peluang
P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562
Jawaban
P = 0,1562
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 241,8 g
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,05
z dari tabel
z ≈ −1,64
Kembali ke satuan semula
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Jawaban
x = 241,8 g
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 4,78
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Margin galat
E = 2,086·10,5/√21 = 4,78
Jawaban
E = 4,78
16.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 865
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,96·15/1)² = 864,4
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 865
Jawaban
n = 865
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −1,8
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Statistik uji
t = (117,6 − 120)/1,333 = −1,8
Jawaban
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 984
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Selesaikan untuk n
n = (1,96·8/0,5)² = 983,4
Bulatkan ke atas
n = 984
Jawaban
n = 984
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9404
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 1315 − 21·351/6 = 86,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 21017 − 351²/6 = 483,5
Koefisien korelasi
r = 86,5/√(17,5·483,5) = 0,9404
Jawaban
r = 0,9404
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 4,948
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 85/6 = 14,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50,5
Garis regresi
b = −50,5/17,5 = −2,886
a = 14,17 − (−2,886)·3,5 = 24,27
ŷ = 24,27 − 2,886·x
Nilai prediksi
ŷ = 24,27 + (−2,886)·2,5 = 17,05
Residu
e = 22 − 17,05 = 4,948
Jawaban
e = 4,948
Titik terletak di atas garis.
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.